एक वृत्ताकार लूप जिसकी त्रिज्या \(20\text{ cm}\) और प्रतिरोध \(2\ \Omega\) है, उसे एक समय-परिवर्ती चुंबकीय क्षेत्र \(\vec{B} = (2t^2 + 2t + 3)\text{ T}\) में रखा गया है। जब लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है, तो \(t = 3\text{ s}\) पर लूप में प्रेरित धारा \(\dfrac{\alpha}{50}\text{ A}\) है। \(\alpha\) का मान _______ है।
(\(\pi = 22/7\) लें)

वृत्ताकार लूप से संबद्ध चुंबकीय फ्लक्स \(\Phi = BA \cos \theta\) द्वारा दिया जाता है। चूंकि लूप का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण \(\theta = 0^{\circ}\) है।

\(\Phi = B \cdot \pi r^2\)

दिया गया है \(r = 20\text{ cm} = 0.2\text{ m}\), लूप का क्षेत्रफल है:

\(A = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi\text{ m}^2\)

लूप में प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) फैराडे के प्रेरण के नियम द्वारा दिया जाता है:

\(|E| = \dfrac{d\Phi}{dt} = A \dfrac{dB}{dt}\)

दिया गया चुंबकीय क्षेत्र \(B = 2t^2 + 2t + 3\) है, हम इसे समय \(t\) के सापेक्ष अवकलित करते हैं:

\(\dfrac{dB}{dt} = \dfrac{d}{dt}(2t^2 + 2t + 3) = 4t + 2\)

\(t = 3\text{ s}\) पर, चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की दर है:

\(\dfrac{dB}{dt} = 4(3) + 2 = 14\text{ T/s}\)

अब, emf समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(|E| = 0.04\pi \times 14 = 0.56\pi\text{ V}\)

लूप में प्रेरित धारा \(I\) है:

\(I = \dfrac{|E|}{R} = \dfrac{0.56\pi}{2} = 0.28\pi\text{ A}\)

\(\pi = \dfrac{22}{7}\) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(I = 0.28 \times \dfrac{22}{7} = 0.04 \times 22 = 0.88\text{ A}\)

हमें दिया गया है कि प्रेरित धारा \(\dfrac{\alpha}{50}\text{ A}\) है। दोनों मानों को बराबर रखने पर:

\(\dfrac{\alpha}{50} = 0.88\)

\(\alpha = 0.88 \times 50 = 44\)

उत्तर: \(44\)