एक गुटका क्षैतिज से \(45°\) पर झुके हुए एक तल पर नीचे फिसलने में \(t\) समय लेता है। यदि सतह को चिकना (घर्षणरहित) कर दिया जाए, तो गुटका तल पर नीचे फिसलने में \(\dfrac{t}{2}\) समय लेता है। गुटके और झुके हुए तल के बीच घर्षण गुणांक \(\left(\dfrac{\alpha}{100}\right)\) है। \(\alpha\) का मान __________ है।

मान लीजिए कि झुके हुए तल की लंबाई \(s\) है।

चिकने (घर्षणरहित) झुके हुए तल के लिए, गुटके का त्वरण \(a_1 = g \sin \theta\) है।

लिया गया समय \(t_1 = \dfrac{t}{2}\) है। गति के दूसरे समीकरण \(s = ut + \dfrac{1}{2}at^2\) का उपयोग करते हुए, जहाँ \(u = 0\):

\(s = \dfrac{1}{2} (g \sin \theta) \left(\dfrac{t}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{8} g \sin \theta t^2\)

खुरदरे (घर्षणयुक्त) झुके हुए तल के लिए, गुटके का त्वरण \(a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)\) है।

लिया गया समय \(t_2 = t\) है। गति के समीकरण का पुनः उपयोग करने पर:

\(s = \dfrac{1}{2} g(\sin \theta - \mu \cos \theta) t^2\)

\(s\) के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:

\(\dfrac{1}{8} g \sin \theta t^2 = \dfrac{1}{2} g(\sin \theta - \mu \cos \theta) t^2\)

\(\dfrac{1}{4} \sin \theta = \sin \theta - \mu \cos \theta\)

दिया गया है \(\theta = 45^{\circ}\), हमारे पास \(\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(\dfrac{1}{4} = 1 - \mu\)

\(\mu = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} = 0.75\)

हमें दिया गया है \(\mu = \dfrac{\alpha}{100}\)।

\(\dfrac{\alpha}{100} = 0.75 \Rightarrow \alpha = 75\)

उत्तर: \(75\)