આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, \(2\) kg, \(3\) kg અને \(15\) kg દળના ત્રણ પદાર્થોને લંબ દ્વિભાજકના મધ્યબિંદુ (\(p\)) ના સંદર્ભમાં મૂકવામાં આવેલ છે, તો તેમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન _______ છે.

ધારો કે લંબ દ્વિભાજકનું મધ્યબિંદુ \(p\) ઉગમબિંદુ \((0,0)\) છે.

આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે, જેની બે બાજુઓ \(10\text{ m}\) છે અને અંતર્ગત ખૂણો \(120^\circ\) છે. \(15\text{ kg}\) દળમાંથી દોરેલો વેધ ખૂણાને બે \(60^\circ\) ખૂણાઓમાં દ્વિભાગે છે.

વેધની લંબાઈ \(10 \cos(60^\circ) = 5\text{ m}\) છે.

કારણ કે \(p\) આ વેધનું મધ્યબિંદુ છે, તેથી \(15\text{ kg}\) દળ \(p\) થી \(2.5\text{ m}\) ઉપરના અંતરે છે અને પાયો \(p\) થી \(2.5\text{ m}\) નીચેના અંતરે છે.

\(2\text{ kg}\) અને \(3\text{ kg}\) દળનો વેધથી અંતર \(10 \sin(60^\circ) = 5\sqrt{3}\text{ m}\) છે.

\(p\) ના સંદર્ભમાં દળના યામ આ પ્રમાણે છે:
\(m_1 = 15\text{ kg}\) \((0, 2.5)\) પર
\(m_2 = 2\text{ kg}\) \((-5\sqrt{3}, -2.5)\) પર
\(m_3 = 3\text{ kg}\) \((5\sqrt{3}, -2.5)\) પર

દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો x-યામ આ પ્રમાણે છે:
\(x_{cm} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \dfrac{15(0) + 2(-5\sqrt{3}) + 3(5\sqrt{3})}{15 + 2 + 3} = \dfrac{5\sqrt{3}}{20} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો y-યામ આ પ્રમાણે છે:
\(y_{cm} = \dfrac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \dfrac{15(2.5) + 2(-2.5) + 3(-2.5)}{20} = \dfrac{37.5 - 12.5}{20} = \dfrac{25}{20} = 1.25\)

દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, 1.25\right)\) છે.

જવાબ: \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, 1.25\right)\)