चित्र में दर्शाए अनुसार, अभिलंब समद्विभाजक के मध्य बिंदु (\(p\)) के सापेक्ष रखे गए तीन द्रव्यमानों \(2\) kg, \(3\) kg तथा \(15\) kg के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति _______ है।

माना कि अभिलंब समद्विभाजक का मध्य बिंदु \(p\) मूल बिंदु \((0,0)\) है।

त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसकी दो भुजाएँ \(10\text{ m}\) की हैं और उनके बीच का कोण \(120^\circ\) है। \(15\text{ kg}\) द्रव्यमान से खींचा गया शीर्षलंब कोण को दो \(60^\circ\) के कोणों में समद्विभाजित करता है।

शीर्षलंब की लंबाई \(10 \cos(60^\circ) = 5\text{ m}\) है।

चूँकि \(p\) इस शीर्षलंब का मध्य बिंदु है, इसलिए \(15\text{ kg}\) द्रव्यमान \(p\) से \(2.5\text{ m}\) ऊपर की दूरी पर है, और आधार \(p\) से \(2.5\text{ m}\) नीचे है।

\(2\text{ kg}\) और \(3\text{ kg}\) द्रव्यमानों की शीर्षलंब से दूरी \(10 \sin(60^\circ) = 5\sqrt{3}\text{ m}\) है।

\(p\) के सापेक्ष द्रव्यमानों के निर्देशांक हैं:
\(m_1 = 15\text{ kg}\) पर \((0, 2.5)\)
\(m_2 = 2\text{ kg}\) पर \((-5\sqrt{3}, -2.5)\)
\(m_3 = 3\text{ kg}\) पर \((5\sqrt{3}, -2.5)\)

द्रव्यमान केंद्र का x-निर्देशांक है:
\(x_{cm} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \dfrac{15(0) + 2(-5\sqrt{3}) + 3(5\sqrt{3})}{15 + 2 + 3} = \dfrac{5\sqrt{3}}{20} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

द्रव्यमान केंद्र का y-निर्देशांक है:
\(y_{cm} = \dfrac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3} = \dfrac{15(2.5) + 2(-2.5) + 3(-2.5)}{20} = \dfrac{37.5 - 12.5}{20} = \dfrac{25}{20} = 1.25\)

द्रव्यमान केंद्र की स्थिति \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, 1.25\right)\) है।

उत्तर: \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, 1.25\right)\)