दो समरूप छोटे दंड चुंबक, प्रत्येक का द्विध्रुव आघूर्ण \(3\sqrt{5}\) J/T है, \(10\) cm की केंद्र से केंद्र पृथक्करण दूरी पर रखे गए हैं, जिनकी अक्षें एक-दूसरे के लंबवत हैं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। चुंबकों के ठीक मध्य बिंदु P पर चुंबकीय क्षेत्र का मान \(\alpha \times 10^{-3}\) T है। \(\alpha\) का मान ______ है।
(\(\mu_0=4\pi \times 10^{-7}\) Tm/A)

माना प्रत्येक चुंबक का चुंबकीय आघूर्ण \(M = 3\sqrt{5}\) J/T है।

प्रत्येक चुंबक के केंद्र से बिंदु P की दूरी \(r = 5\) cm \(= 0.05\) m है।

पहले चुंबक (क्षैतिज) के लिए, बिंदु P उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित है। पहले चुंबक के कारण P पर चुंबकीय क्षेत्र है:

\(B_1 = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{2M}{r^3}\)

\(\vec{B}_1\) की दिशा पहले चुंबक की अक्ष के अनुदिश है।

दूसरे चुंबक (ऊर्ध्वाधर) के लिए, बिंदु P उसकी निरक्षीय रेखा पर स्थित है। दूसरे चुंबक के कारण P पर चुंबकीय क्षेत्र है:

\(B_2 = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{M}{r^3}\)

\(\vec{B}_2\) की दिशा दूसरे चुंबक की अक्ष के समांतर है, जो पहले चुंबक की अक्ष के लंबवत है।

चूँकि \(\vec{B}_1\) और \(\vec{B}_2\) एक-दूसरे के लंबवत हैं, P पर परिणामी चुंबकीय क्षेत्र है:

\(B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}\)

\(B_1\) और \(B_2\) के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(B = \sqrt{\left(\dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{2M}{r^3}\right)^2 + \left(\dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{M}{r^3}\right)^2}\)

\(B = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{M}{r^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{\sqrt{5}M}{r^3}\)

दिए गए मान \(\dfrac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\) T m/A, \(M = 3\sqrt{5}\) J/T, और \(r = 0.05\) m प्रतिस्थापित करने पर:

\(B = 10^{-7} \times \dfrac{\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{(0.05)^3}\)

\(B = 10^{-7} \times \dfrac{15}{125 \times 10^{-6}}\)

\(B = \dfrac{15 \times 10^{-1}}{125}\)

\(B = 0.1 \times 0.12\) T

\(B = 0.012\) T

\(B = 12 \times 10^{-3}\) T

इसकी तुलना दिए गए मान \(\alpha \times 10^{-3}\) T से करने पर, हमें \(\alpha = 12\) प्राप्त होता है।

उत्तर: \(12\)