બે સમાન નાના ગજિયા ચુંબકો પ્રત્યેક ચુંબકીય ચાકમાત્રા \(3\sqrt{5}\) J/T ધરાવે છે, તેમને કેન્દ્રથી કેન્દ્રના \(10\) cm ના અંતરે તેમની અક્ષો એકબીજાને લંબ રહે તેમ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવે છે. ચુંબકોની બરાબર મધ્યમાં આવેલા બિંદુ P પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય \(\alpha \times 10^{-3}\) T છે. તો \(\alpha\) નું મૂલ્ય ______ છે.
(\(\mu_0=4\pi \times 10^{-7}\) Tm/A)

ધારો કે, પ્રત્યેક ચુંબકની ચુંબકીય ચાકમાત્રા \(M = 3\sqrt{5}\) J/T છે.

દરેક ચુંબકના કેન્દ્રથી બિંદુ P નું અંતર \(r = 5\) cm \(= 0.05\) m છે.

પ્રથમ ચુંબક (સમક્ષિતિજ) માટે, બિંદુ P તેની અક્ષીય રેખા પર આવેલું છે. પ્રથમ ચુંબકને કારણે P પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:

\(B_1 = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{2M}{r^3}\)

\(\vec{B}_1\) ની દિશા પ્રથમ ચુંબકની અક્ષને સમાંતર છે.

બીજા ચુંબક (ઊર્ધ્વ) માટે, બિંદુ P તેની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર આવેલું છે. બીજા ચુંબકને કારણે P પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:

\(B_2 = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{M}{r^3}\)

\(\vec{B}_2\) ની દિશા બીજા ચુંબકની અક્ષને સમાંતર છે, જે પ્રથમ ચુંબકની અક્ષને લંબ છે.

કારણ કે \(\vec{B}_1\) અને \(\vec{B}_2\) એકબીજાને લંબ છે, તેથી P પરનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર:

\(B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}\)

\(B_1\) અને \(B_2\) ના સૂત્રો મુકતા:

\(B = \sqrt{\left(\dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{2M}{r^3}\right)^2 + \left(\dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{M}{r^3}\right)^2}\)

\(B = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{M}{r^3} \sqrt{2^2 + 1^2} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{\sqrt{5}M}{r^3}\)

આપેલ કિંમતો \(\dfrac{\mu_0}{4\pi} = 10^{-7}\) T m/A, \(M = 3\sqrt{5}\) J/T, અને \(r = 0.05\) m મુકતા:

\(B = 10^{-7} \times \dfrac{\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{(0.05)^3}\)

\(B = 10^{-7} \times \dfrac{15}{125 \times 10^{-6}}\)

\(B = \dfrac{15 \times 10^{-1}}{125}\)

\(B = 0.1 \times 0.12\) T

\(B = 0.012\) T

\(B = 12 \times 10^{-3}\) T

આની સરખામણી આપેલ મૂલ્ય \(\alpha \times 10^{-3}\) T સાથે કરતા, આપણને \(\alpha = 12\) મળે છે.

જવાબ: \(12\)