दो गुटके (\(P\) और \(Q\)) जिनके द्रव्यमान क्रमशः \(2\) kg और \(1.5\) kg हैं, एक द्रव्यमानहीन धागे से जुड़े हैं। ये गुटके एक घर्षणहीन घिरनी पर लगे हैं जो एक घन (\(S\)) के किनारे पर स्थिर है, जैसा कि नीचे चित्र में दर्शाया गया है। गुटका \(P\) ऊपरी सतह पर रखा है जिस पर कोई घर्षण नहीं है और गुटका \(Q\) एक पार्श्व सतह के संपर्क में है, जिसका घर्षण गुणांक \(\mu\) है। घन (\(S\)) दाईं ओर \(\dfrac{g}{2}\) के त्वरण से गति करता है, जहाँ \(g\) गुरुत्वीय त्वरण है। इस गति के दौरान गुटके \(P\) और \(Q\) स्थिर रहते हैं। \(\mu\) का मान _______ है। (\(g = 10\) m/s\(^2\) लीजिए)

आइए हम गुटके \(P\) और \(Q\) पर घन \(S\) के अजड़त्वीय निर्देश तंत्र में लगने वाले बलों का विश्लेषण करें, जो दाईं ओर \(a = \dfrac{g}{2} = 5 \text{ m/s}^2\) के त्वरण से गति कर रहा है।

इस निर्देश तंत्र में, दोनों गुटकों पर बाईं ओर एक छद्म बल कार्य करता है।

गुटके \(P\) के लिए (द्रव्यमान \(m_P = 2 \text{ kg}\)):
क्षैतिज दिशा में बल धागे में तनाव \(T\) (दाईं ओर कार्य कर रहा है) और छद्म बल \(F_{pP}\) (बाईं ओर कार्य कर रहा है) हैं। चूंकि गुटका \(P\) घन के सापेक्ष स्थिर है और ऊपरी सतह पर कोई घर्षण नहीं है:
\(T = m_P a = 2 \times 5 = 10 \text{ N}\)

गुटके \(Q\) के लिए (द्रव्यमान \(m_Q = 1.5 \text{ kg}\)):
क्षैतिज बल घन की पार्श्व सतह से अभिलंब प्रतिक्रिया \(N\) (दाईं ओर कार्य कर रही है) और छद्म बल \(F_{pQ}\) (बाईं ओर कार्य कर रहा है) हैं। चूंकि गुटका \(Q\) घन के सापेक्ष क्षैतिज रूप से स्थिर है:
\(N = m_Q a = 1.5 \times 5 = 7.5 \text{ N}\)

गुटके \(Q\) पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल \(m_Q g\), ऊपर की ओर तनाव \(T\) और घर्षण बल \(f\) हैं।
नीचे की ओर लगने वाला बल \(m_Q g = 1.5 \times 10 = 15 \text{ N}\) है।
चूंकि \(m_Q g > T\) (\(15 \text{ N} > 10 \text{ N}\)), गुटके में नीचे की ओर फिसलने की प्रवृत्ति है, इसलिए स्थैतिक घर्षण \(f\) ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए।
गुटके \(Q\) के ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए:
\(T + f = m_Q g\)
\(10 + f = 15 \Rightarrow f = 5 \text{ N}\)

गुटके को स्थिर रखने के लिए, आवश्यक घर्षण अधिकतम स्थैतिक घर्षण (\(f \le \mu N\)) से कम या उसके बराबर होना चाहिए। \(\mu\) का मान ज्ञात करने के लिए सीमांत स्थिति मानते हुए:
\(\mu N = f\)
\(\mu (7.5) = 5\)
\(\mu = \dfrac{5}{7.5} = \dfrac{2}{3} \approx 0.67\)

उत्तर: \(0.67\)