किसी वस्तु का द्रव्यमान \(0.1\) kg है, जिसकी समय \(t\) के फलन के रूप में स्थिति \(\vec{r} = \left(10t^2\hat{i} + 5t^3\hat{j}\right)\) m दी गई है। \(t = 1\) s पर, निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
A. वस्तु का रेखीय संवेग \(\vec{p} = \left(2\hat{i} + 1.5\hat{j}\right)\) kg·m/s है।
B. वस्तु पर लगने वाला बल \(\vec{F} = \left(2\hat{i} + 3\hat{j}\right)\) N है।
C. वस्तु का इसके मूलबिंदु के परितः कोणीय संवेग \(\vec{L} = 15\hat{k}\) J·s है।
D. वस्तु पर इसके मूलबिंदु के परितः लगने वाला बल आघूर्ण \(\vec{\tau} = 20\hat{k}\) N·m है।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

दिया गया स्थिति सदिश \(\vec{r} = 10t^2\hat{i} + 5t^3\hat{j}\) है।

वेग \(\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt} = 20t\hat{i} + 15t^2\hat{j}\)

त्वरण \(\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = 20\hat{i} + 30t\hat{j}\)

\(t = 1\) s पर:
\(\vec{r} = 10\hat{i} + 5\hat{j}\) m
\(\vec{v} = 20\hat{i} + 15\hat{j}\) m/s
\(\vec{a} = 20\hat{i} + 30\hat{j}\) m/s\(^2\)

रेखीय संवेग \(\vec{p} = m\vec{v} = 0.1(20\hat{i} + 15\hat{j}) = 2\hat{i} + 1.5\hat{j}\) kg\(\cdot\)m/s (कथन A सही है)

बल \(\vec{F} = m\vec{a} = 0.1(20\hat{i} + 30\hat{j}) = 2\hat{i} + 3\hat{j}\) N (कथन B सही है)

कोणीय संवेग \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 1.5\hat{j}) = (10 \times 1.5 - 5 \times 2)\hat{k} = 5\hat{k}\) J\(\cdot\)s (कथन C गलत है)

बल आघूर्ण \(\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = (10\hat{i} + 5\hat{j}) \times (2\hat{i} + 3\hat{j}) = (10 \times 3 - 5 \times 2)\hat{k} = 20\hat{k}\) N\(\cdot\)m (कथन D सही है)

अतः, कथन A, B, और D सही हैं।

उत्तर: केवल A, B और D