त्रिज्या R के एक गोले पर आवेश वितरित हैं जिसका आयतनिक आवेश घनत्व ( r)= A r 2 e -2 r / a से दिया जाता है, जहाँ A तथा a नियतांक है। यदि इस आवेश वितरण का कुल आवेश Q है, तब त्रिज्या R का मान है।

(A) a\,\log \,\left( {1 - \frac{Q}{{2\pi aA}}} \right)

(C) a\,\log \,\left( {\frac{1}{{1 - \frac{Q}{{2\pi aA}}}}} \right)

(D) \frac{a}{2}\,\log \left( {1 - \frac{1}{{2\pi aA}}} \right)\,

JEE Mains · Physics · STD 12 - वैद्युत आवेश तथा क्षेत्र

त्रिज्या \(R\) के एक गोले पर आवेश वितरित हैं जिसका आयतनिक आवेश घनत्व \(\rho( r )=\frac{ A }{ r ^{2}} e ^{-2 r / a }\) से दिया जाता है, जहाँ \(A\) तथा \(a\) नियतांक है। यदि इस आवेश वितरण का कुल आवेश \(Q\) है, तब त्रिज्या \(R\) का मान है।

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सत्यापित हल

सही उत्तर

(B) \(\frac{a}{2}\,\log \,\left( {\frac{1}{{1 - \frac{Q}{{2\pi aA}}}}} \right)\)

विस्तृत व्याख्या

\(Q = \int \rho 4\pi {r^2}dr = \int_0^R {\left( {\frac{A}{{{r^2}}}{e^{ - \frac{{2r}}{a}}}} \right)} \left( {4\pi {r^2}} \right)dr\)

\( = 4\pi A\frac{a}{2}\left( {1 - {e^{\frac{{ - 2R}}{a}}}} \right)\)

\( \Rightarrow R = \frac{{ - a}}{2}\log \left( {1 - \frac{Q}{{2\pi Aa}}} \right)\)

वही विषय

सूची\(-I\)	सूची\(-II\)
\((a)\) किसी शुद्ध प्रतिरोधात्मक \(AC\) परिपथ में धारा और वोल्टता के बीच कलान्तर	\((i)\) \(\frac{\pi}{2} ;\) धारा वोल्टता से अग्र है
\((b)\) किसी शुद्ध प्रेरणिक \(AC\) परिपथ में धारा और वोल्टता के बीच कलान्तर	\((ii)\) शून्य
\((c)\) किसी शुद्ध धारिता \(AC\) परिपथ में धारा और वोल्टता के बीच कलान्तर	\((iii)\) \(\frac{\pi}{2} ;\) धारा वोल्टता से पश्च है
\((d)\) किसी \(LCR\) श्रेणी परिपथ में धारा और वोल्टता के बीच कलान्तर	\((iv)\) \(\tan ^{-1}\left(\frac{X_{C}-X_{L}}{R}\right)\)

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