एक खोखला गोला अपनी सममिति अक्ष के परितः एक समतल सतह पर लुढ़क रहा है। घूर्णी गतिज ऊर्जा का उसकी कुल गतिज ऊर्जा से अनुपात \(\frac{x}{5}\) है। \(x\) का मान _______ है।

\(2 \; kg\) द्रव्यमान का एक कण, किसी चिकने क्षैतिज मेज पर स्थित है तथा \(0.6 \; m\) त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है। भू-तल से मेज की ऊँचाई \(0.8 \; m\) है। यदि कण की कोणीय चाल \(12 \; rad s ^{-1}\) हो तो, वृत्त के केन्द्र के ठीक नीचे भू-तल पर किसी बिन्दु के परितः, इस कण का कोणीय संवेग का परिमाण होगा :

निम्न दो कथन दिये गये है। कथन \(I :\) प्रकाश वैद्युत प्रभाव में निरोधी विभव प्रकाश स्त्रोत की शक्ति पर निर्भर नही करता है। कथन \(II :\) एक दी गई धातु के लिए, फोटो इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य पर निर्भर करती है। उपर्युक्त कथनों के संदर्भ में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त उत्तर चुनिये।

एक बेलन में अनुप्रस्थ काट \(8.0 \times 10^{-3} \;m ^{2}\) के एक कमानीदार भारित पिस्टन द्वारा एक आदर्श एकपरमाणुक गैस को रखा गया है। प्रारम्भ में गैस \(300 \;K\) पर है और \(2.4 \times 10^{-3} m ^{3}\) आयतन रखती हैं और कमानी अपनी विश्रांति अवस्था में है जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। गैस को एक छोटे हीटर द्वारा तब तक गरम किया जाता है जब तक कि पिस्टन धीरे से \(0.1 \;m\) की गति न कर ले। कमानी का बल नियताँक \(8000\; N / m\) है और वायुमंडलीय दाब \(1.0 \times 10^{5} \;N / m ^{2}\) है। बेलन एवं पिस्टन ऊष्मारोधी हैं। पिस्टन एवं कमानी द्रव्यमानविहीन है और पिस्टन एवं बेलन के बीच कोई घर्षण नहीं है। गैस का अन्तिम तापमान होगा : (हीटर के लीड तारों से ऊर्जा की हानि नगण्य माने और हीटर कुण्डली की ऊष्माधारिता भी नगण्य है)

\(27^{\circ}\,C\) तापमान पर किसी बर्तन में \(14\,g\) नाइट्रोजन गैस रखी है। गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल को दोगुना करने के लिए गैस को स्थानान्तरीत की जाने वाली आवश्यक ऊष्मा की मात्रा \(.........\,J\) होगी: ( \(R =8.32\,J\,mol ^{-1} k ^{-1}\) लीजिए)

एक त्रिज्या \(R\) तथा द्रव्यमान \(M\) की एकसमान डिस्क केवल अपनी अक्ष के परितः घूर्णन के लिये स्वतंत्र है। चित्रानुसार इस डिस्क की परिधि पर एक डोरी लपेटकर, डोरी के स्वतंत्र सिरे से एक द्रव्यमान \(m\) को बाँधा गया है। यदि द्रव्यमान को स्थिरावस्था से छोड़ा जाता है तो उसका त्वरण होगा

\(\mathrm{Y}-\mathrm{Z}\) तल में गतिमान एक चीटी की स्थिति ( \(\mathrm{S}\) मीटर में) निम्न प्रकार दी गयी हैं \(\mathrm{S}=2 \mathrm{t}^2 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}\) (जहाँ \(\mathrm{t}\) सैकण्ड में है)। \(\mathrm{t}=1\) से पर चीटी के वेग का परिमाण व दिशा होगी :

माना \(A =\left[ a _{ ij }\right]\), कोटी 3 का वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि सभी \(i , j =1,2,3\) के लिये \(a _{ ij }=2^{ j }\) \({ }^{-i}\) है। तब आव्यूह \(A ^2+ A ^3+\ldots+ A ^{10}\) है :

एक कण एक सरल रेखा में गति करते हुए आधी दूरी 6 \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\) की चाल से तय करता है। अन्य आधी दूरी को दो समान समयांतरालों में क्रमशः 9 \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\) और 15 \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\) की चाल से तय किया जाता है। गति के दौरान कण की औसत चाल _______ है।

\(\theta \in(0, \pi / 3)\) का एक मान, जिसके लिये \(\left|\begin{array}{ccc}1+\cos ^{2} \theta & \sin ^{2} \theta & 4 \cos 6 \theta \\ \cos ^{2} \theta & 1+\sin ^{2} \theta & 4 \cos 6 \theta \\ \cos ^{2} \theta & \sin ^{2} \theta & 1+4 \cos 6 \theta\end{array}\right|=0\) है

\(\operatorname{cosec}\left[2 \cot ^{-1}(5)+\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\right]\) बराबर है

\(k ( k \neq 0)\) के सभी पूर्णांक मानों, जिनके लिए \(x\) में समीकरण \(\frac{2}{ x -1}-\frac{1}{ x -2}=\frac{2}{ k }\) का कोई वास्तविक मूल नहीं है, का योग है .......... |

\(1 \;ms ^{-1}\) की आरम्भिक चाल से लोटन गति करता, द्रव्यमान \(2 \;kg\) और त्रिज्या \(0.5 \;m\) का कोई गोला, बिना फिसले क्षैतिज से \(30^{\circ}\) का कोण बनाते किसी आनत समतल के ऊपर तक चला जाता है। अपने आरम्भिक बिन्दु \(A\) पर लौटने में यह गोला कितना समय लेगा ?