द्रव्यमान ' \(m\) ' तथा त्रिज्या ' \(r\) ' का एक ठोस गोला ' \(L\) ' लंबाई के एक नत समतल के उच्चतम बिंदु से, जो क्षैतिज के साथ \(30^{\circ}\) का कोण बनाता है, बिना फिसले लुढ़कने दिया जाता है। समतल के निचले सिरे पर गोले की चाल \(v_1\) है। यदि नत कोण को \(45^{\circ}\) तक बढ़ा दिया जाता है जबकि \(L\) को नियत रखा जाता है, तो समतल के निचले सिरे पर गोले की नई चाल \(v_2\) है। अनुपात \(v_1^2: v_2^2\) है:

कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर
\(\begin{aligned}
& \mathrm{W}_{\mathrm{g}}=\mathrm{k}_{\mathrm{f}}-\mathrm{k}_{\mathrm{i}} \\
& \mathrm{Mg} \mathrm{~L} \sin \theta=\mathrm{k}_{\mathrm{f}}-\mathrm{k}_{\mathrm{i}}
\end{aligned}\)
शुद्ध लोटनी गति में गतिज ऊर्जा \(\frac{1}{2} \mathrm{mV}_{\mathrm{cm}}^2+\frac{1}{2} \mathrm{I}_{\mathrm{cm}} \omega^2\)
\(\begin{aligned}
& =\frac{1}{2} \mathrm{mV}^2+\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \mathrm{mR}^2 \frac{\mathrm{~V}^2}{\mathrm{R}^2} \\
& \frac{7}{10} \mathrm{mV}^2
\end{aligned}\)
\(\mathrm{mgL} \sin \theta=\frac{7}{10} \mathrm{mV}_{\mathrm{f}}^2-0\)
\(\begin{aligned}
& \mathrm{V}_{\mathrm{f}}^2 \propto \sin \theta \\
& \left(\frac{\mathrm{~V}_1}{\mathrm{~V}_2}\right)^2=\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{aligned}\)