द्रव्यमान \(M\) और त्रिज्या \(R\) की एक वृत्तीय प्लेट का घनत्व \(\rho( r )=\rho_{0} r\), के अनुसार परिवर्तित हो रहा है। जहाँ \(\rho_{0}\) स्थिरांक है और \(r\) उसके केन्द्र से दूरी है। प्लेट के लम्बवत् और प्लेट की परिधि से जाने वाली अक्ष के परितः वृत्तीय प्लेट का जड़त्व आघूर्ण \(I = aMR ^{2}\) है। गुणांक \(a\) का मान है।

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उत्तर और हल

सही उत्तर

(A) \(\frac{8}{5}\)

चरण-दर-चरण हल

विस्तृत व्याख्या

\(M = \int\limits_0^R {{\rho _0}r\left( {2\pi rdr} \right) = \frac{{{\rho _0} \times 2\pi \times {R^3}}}{3}} \)

\(\,\,\,\mathop {{I_0}}\limits_{\left( {MOl\,about\,COM} \right)} = \int\limits_0^R {{\rho _0}r} \left( {2\pi rdr} \right) \times {r^2} = \frac{{{\rho _0} \times 2\pi {R^5}}}{5}\)

By parallel axis theorem

\(I = {I_0} + M{R^2}\)

\( = \frac{{{\rho _0} \times 2\pi {R^5}}}{5} + \frac{{{\rho _0} \times 2\pi {R^3}}}{3} \times {R^2} = {\rho _0}2\pi {R^5} \times \frac{8}{{15}}\)

\( = M{R^2} \times \frac{8}{5}\)

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