बिना तानित लम्बाई \(l\) की एक कमानी से एक द्रव्यमान \(m\) इस प्रकार है कि इसका एक सिरा एक दृढ़ आधार पर बँधा है। यह मानते हुये कि कमानी एक एकसमान तार से बनी है, इसमें गतिज ऊर्जा होगी यदि इसका स्वतन्त्र सिरा एकसमान वेग \(v\) से खींचा जाए

\(T=\int_{m} \frac{1}{2} u^{2} d m\)

since the spring is uniform, \(d m=\left(\frac{d y}{L}\right) m,\) where \(L\) is the length of the spring. Hence,

\(T =\int_{0}^{L} \frac{1}{2} u^{2}\left(\frac{d y}{L}\right) m\)

\(=\frac{1}{2} \frac{m}{L} \int_{0}^{L} u^{2} d y\)

The velocity of each mass element of the spring is directly proportional to its length, i.e.

\(u=\frac{v y}{L},\) from which it follows\(:\)

\({T=\frac{1}{2} \frac{m}{L} \int_{0}^{L}\left(\frac{v y}{L}\right)^{2} d y}\)

\({=\frac{1}{2} \frac{m}{L^{3}} v^{2} \int_{0}^{L} y^{2} d y}\)

\({=\frac{1}{2} \frac{m}{L^{3}} v^{2}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{L}}\)

\({=\frac{1}{2} \frac{m}{3} v^{2}}\)