એક  ખેંચ્યા વગર ની સ્પ્રિંગ લંબાઈ \(l\) અને દળ \(m\) ધરાવે છે અને તેનો એક છેડો દ્રઢ આધાર સાથે જોડેલો છે.ધારો કે સ્પ્રિંગ ને એકસમાન તાર થી બનાવેલી છે તો તેના એક છેડાને સમાન વેગ \(v\) થી ખેંચવામાં આવે છે તો તેણે મેળવેલી ગતિઉર્જા કેટલી થશે?

\(T=\int_{m} \frac{1}{2} u^{2} d m\)

since the spring is uniform, \(d m=\left(\frac{d y}{L}\right) m,\) where \(L\) is the length of the spring. Hence,

\(T =\int_{0}^{L} \frac{1}{2} u^{2}\left(\frac{d y}{L}\right) m\)

\(=\frac{1}{2} \frac{m}{L} \int_{0}^{L} u^{2} d y\)

The velocity of each mass element of the spring is directly proportional to its length, i.e.

\(u=\frac{v y}{L},\) from which it follows\(:\)

\({T=\frac{1}{2} \frac{m}{L} \int_{0}^{L}\left(\frac{v y}{L}\right)^{2} d y}\)

\({=\frac{1}{2} \frac{m}{L^{3}} v^{2} \int_{0}^{L} y^{2} d y}\)

\({=\frac{1}{2} \frac{m}{L^{3}} v^{2}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{L}}\)

\({=\frac{1}{2} \frac{m}{3} v^{2}}\)