अविस्तारित \(L\) लम्बाई की एकसमान शंकुनुमा तार के सिरों की त्रिज्या क्रमशः \(R\) तथा \(3R\) हैं। उसकी धातु का यंग-माडुलस \(Y\) है। \(R\) त्रिज्या वाले सिरे को एक ढृढ़ आधार पर जड़ित किया गया है तथा दूसरे सिरे पर \(M\) द्रव्यमान लटकाया गया है। संतुलन-अवस्था में तार की लम्बाई होगी

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उत्तर और हल

सही उत्तर

(C) \(L\left( {1 + \frac{1}{3}\frac{{Mg}}{{\pi Y{R^2}}}} \right)\)

विस्तृत व्याख्या

Consider a small element \(dx\) of radius \(r\),

\(r = \frac{{2R}}{L}x + R\)

At equilibrium change in length of the wire

\(\int\limits_0^l {dL = \int {\frac{{Mgdx}}{{\pi {{\left[ {\frac{{2R}}{L}x + R} \right]}^2}y}}} } \)

Taking limit from \(0\) to \(L\)

\(\Delta L = \frac{{Mg}}{{\pi y}} - \frac{1}{{\left[ {\frac{{2Rx}}{L} + R} \right]_0^L}} \times \frac{L}{{2R}} = \frac{{MgL}}{{3\pi {R^2}y}}\)

The equilibrium extended length of wire

\( = L + \Delta L\)

\( = L + \frac{{MgL}}{{3\pi {R^2}Y}} = L\left( {1 + \frac{1}{3}\frac{{Mg}}{{\pi Y{R^2}}}} \right)\)

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