त्रिज्या R के एक ग्रह में इसका द्रव्यमान घनत्व ( r)= 0 (1- r 2 R 2) है जहाँ r इसके केन्द्र से दूरी है। इस ग्रह का गुरूत्वाकर्षण क्षेत्र r के किस मान पर अधिकतम होगा ?

JEE Mains · Physics · STD 11 - गुरुत्वाकर्षण

त्रिज्या \(R\) के एक ग्रह में इसका द्रव्यमान घनत्व \(\rho( r )=\rho_{0}\left(1-\frac{ r ^{2}}{ R ^{2}}\right)\) है जहाँ \(r\) इसके केन्द्र से दूरी है। इस ग्रह का गुरूत्वाकर्षण क्षेत्र \(r\) के किस मान पर अधिकतम होगा ?

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सत्यापित हल

सही उत्तर

(B) \(r=\sqrt{\frac{5}{9}} R\)

विस्तृत व्याख्या

\(E 4 \pi r ^{2}=\int \rho_{0} 4 \pi r ^{2} dr\)

\(\Rightarrow Er ^{2}=4 \pi G \int \limits_{0}^{ r } \rho_{0}\left(1-\frac{ r ^{2}}{ R ^{2}}\right) r ^{2} dr\)

\(\Rightarrow E =4 \pi G \rho_{0}\left(\frac{ r ^{3}}{3}-\frac{ r ^{5}}{5 R ^{2}}\right)\)

\(\frac{ d E }{ dr }=0 \therefore r =\sqrt{\frac{5}{9}} R\)

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