એક ધન આયન \(A\) અને એક ઋણ આયન \(B\) ના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે \(6.67 \times 10^{-19} \mathrm{C}\) અને \(9.6 \times 10^{-10} \mathrm{C}\) છે, અને તેમના દળ અનુક્રમે \(19.2 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\) અને \(9 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}\) છે. કોઈ એક ક્ષણે, આયનો r જેટલા ચોક્કસ અંતરે અલગ પડેલા છે. તે ક્ષણે, સ્થિત વિદ્યુતબળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર \(P \times 10^{45}\) છે, જ્યાં 10\(P\) નું મૂલ્ય _______ છે.
(લ્યો કે \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=9 \times 10^9 \mathrm{Nm}^2 \mathrm{C}^{-1}\) અને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક \(6.67 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}\) છે )
ધારો કે વિદ્યુતભાર ઇલેક્ટ્રોનનો પૂર્ણાંક ગુણાંક ન પણ હોઈ શકે.

સ્પષ્ટીકરણ:
NCERT ધોરણ 12 ભૌતિકવિજ્ઞાનના પ્રકરણ 1 (વિદ્યુતભાર અને ક્ષેત્રો) માં આપેલા કુલંબના નિયમ અને ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ટૂંકી ગણતરી (Smart Cancellation) ની મદદથી સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઉકેલ નીચે મુજબ છે:

સ્ટેપ 1: બળોના ગુણોત્તર માટેનું સૂત્ર લખો
બે વીજભારીત કણો વચ્ચે લાગતું સ્થિરવિદ્યુત બળ (\(F_e\)) અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (\(F_g\)) નો ગુણોત્તર લેતાં અંતર (\(r^2\)) સંપૂર્ણપણે ઊડી જશે:
\(\frac{F_e}{F_g} = \frac{k \cdot |q_A| \cdot |q_B|}{G \cdot m_A \cdot m_B}\)

સ્ટેપ 2: કિંમતો મૂકો અને ટૂંકી ગણતરીની ટ્રીક વાપરો
સમીકરણમાં આપેલી બધી કિંમતો મુકતાં:
\(\frac{F_e}{F_g} = \frac{(9 \times 10^9) \times (6.67 \times 10^{-19}) \times (9.6 \times 10^{-10})}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (19.2 \times 10^{-27}) \times (9 \times 10^{-27})}\)

મુખ્ય સંખ્યાઓને 10 ની ઘાતથી અલગ લખતાં:
\(\frac{F_e}{F_g} = \left[ \frac{9 \times 6.67 \times 9.6}{6.67 \times 19.2 \times 9} \right] \times \left[ \frac{10^9 \times 10^{-19} \times 10^{-10}}{10^{-11} \times 10^{-27} \times 10^{-27}} \right]\)

હવે કોઈ પણ મોટો ગુણાકાર કર્યા વગર સમાન અંકોને સામસામે સીધા કેન્સલ કરો:
- અંશમાં રહેલા \(9\) અને છેદમાં રહેલા \(9\) સીધા કેન્સલ થાય છે.
- અંશમાં રહેલા \(6.67\) અને છેદમાં રહેલા \(6.67\) પણ સીધા કેન્સલ થાય છે.
- હવે માત્ર અંશમાં \(9.6\) અને છેદમાં \(19.2\) વધશે. આપણે જાણીએ છીએ કે \(19.2 = 2 \times 9.6\), એટલે કે \(\frac{9.6}{19.2} = \frac{1}{2} = 0.5\) થઈ જાય!

સ્ટેપ 3: 10 ની ઘાતોનું સરળીકરણ કરો
- અંશની કુલ ઘાત = \(9 - 19 - 10 = -20\)
- છેદની કુલ ઘાત = \(-11 - 27 - 27 = -65\)
- પરિણામી ઘાત = \(-20 - (-65) = 45\)

આથી, ગુણોત્તરનું મૂલ્ય = \(0.5 \times 10^{45}\)

સ્ટેપ 4: \(10P\) ની અંતિમ કિંમત મેળવો
પ્રશ્નમાં આપેલા સમીકરણ (\(P \times 10^{45}\)) સાથે આપણા જવાબને સરખાવતા:
\(P = 0.5\)

તેથી:
\(10P = 10 \times 0.5 = 5\)

આથી, સાચો ઉત્તર વિકલ્પ A છે.