આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે \(d = 20\,\mu \,m\) વ્યાસ અને એક \(I = 2\,m\) લંબાઈ ધરાવતા ઓપ્ટિકલ ફાઈબરના એક છેડેથી \({\theta _1} = {40^o}\) ના ખૂણે પ્રકાશનું કિરણ આપાત કરવામાં આવે છે.બીજા છેડેથી બહાર નીકળતા પહેલા તે કેટલી વખત પરાવર્તન પામશે?

So both the answers must be awarded. Detailed solution as following.

Exact solution

By Snell's law  \(1.\sin {40^o} = (1.31)\sin {\theta _2}\)

\(\sin \theta_{2}=\frac{64}{1.31}=\frac{64}{131} \approx .49\)

Now \(\tan {\theta _2} = \frac{{64}}{{\sqrt {{{(131)}^2} - {{(64)}^2}} }}\) \( = \frac{{64}}{{\sqrt {13065} }} \approx \frac{{64}}{{114.3}} = \frac{{\text{d}}}{x}\)

Now number of reflections

\(=\frac{2 \times 64}{114.3 \times 20 \times 10^{-6}}=\frac{64 \times 10^{5}}{114.3}\)

\(=55991 \approx 55000\)

Approximate solution

By Snell's law \(1 . \sin 40^{\circ}=(1.31) \sin \theta_{2}\)

\({\sin \theta_{2}=\frac{0.64}{1.31}=\frac{64}{131} \approx 0.49}\)

If assume  \( \Rightarrow {\theta _2} \approx {30^o}\)

\(\tan {30^o} = \frac{{\text{d}}}{{\text{x}}} \Rightarrow {\text{x}} = \sqrt 3 {\text{d}}\)

Now number of reflections

\(=\frac{\ell}{\sqrt{3} \mathrm{d}}=\frac{2}{\sqrt{3} \times 20 \times 10^{-6}}=\frac{10^{5}}{\sqrt{3}}\)

\(\approx 57735 \approx 57000\)