\(30\, cm\) લંબાઇના એક પોલા નળાકારની (અંદરની ત્રિજ્યા \(10\, cm\) અને બહારની ત્રિજ્યા \(20 \,cm\)) તેના અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા \(I\) છે. આવું સમાન દ્રવ્યમાન ધરાવતા એક પાતળા નળાકારની તેના અક્ષની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા પણ \(I\) છે, તો તેની ત્રિજ્યા ........ \(cm\) હશે

\(R = 20 cm\)                 area

\(Mass = m\)                  \(\sigma  = \frac{m}{{\pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)}}\)

Consider an element of radius \(x\) and thickness \(dx\)

Mass of element                   \(dm =\) \(\sigma \,2\pi  \times x\left( {dx} \right)\)

Moment of inertia of element,      \(dI = (dm)\)\({x^2}\)

\( \Rightarrow \,\,I = \sigma 2\pi \int_r^R {{X^3}dx} \)

\( = \sigma \frac{{2\pi }}{4}\left( {{R^4} - {r^4}} \right)\)

\( = \frac{m}{{\pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)}}\frac{\pi }{2}\left( {{R^4} - {r^4}} \right)\)

\(\,I = \frac{m}{2}\left( {{R^2} + {r^2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,...\left( i \right)\)

Moment of inertia of thin cylinder of same mass,

\(I = mr_0^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,...\left( {ii} \right)\)

\( \Rightarrow \,\,mr_0^2 = \frac{m}{2}\left( {{R^2} + {r^2}} \right)\)

\(r_0^2 = 250\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,{r_0}\, \approx \,16\,cm.\)