विभवान्तर \(' V ^{\prime}\) द्वारा त्वरित, एक प्रोटॉन (द्रव्यमान \(m\) ), किसी अनुप्रस्थ एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र \(B\) से होकर तीव्र चाल से गुज़रता है। यह चुम्बकीय क्षेत्र \(' d '\) चौड़ाई तक विस्तरित है। यदि, यह प्रोटॉन, चुम्बकीय क्षेत्र के कारण अपनी गति की प्रारंभिक दिशा से \(' \alpha '\) कोण से विचलित हो जाता है (आरेख दे खिये) तो, \(\sin \alpha\) का मान होगा :

एक इलैक्ट्रान की डी-ब्रॉगली तरंगदैर्ध्य एक फोटॉन की डी-ब्रॉगली तरंगदैर्ध्य के समान है। यदि इलैक्ट्रान का वेग प्रकाश के वेग का \(25 \%\) हो तो इलैक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा तथा फोटॉन की गतिज ऊर्जा का अनुपात होगा :

चित्र में दर्शाये अनुसार, किसी तार का यंग प्रत्यास्थता गुणांक ज्ञात करने के एक प्रयोग में, प्रसार-लोड (भार) का वक्र आरेखित किया गया है। वक्र एक सरल रेखा है, जो कि मूल बिन्दु से गुजर रही है, एवं भार-अक्ष से \(45^{\circ}\) का कोण बना रही है। तार की लम्बाई \(62.8 \mathrm{~cm}\) एवं इसका व्यास \(4 \mathrm{~mm}\) है। यंग प्रत्यास्थता गुणांक \(\mathrm{x} \times 10^4 \mathrm{Nm}^{-2}\) पाया जाता है। \(\mathrm{x}\) का मान है_______

\(9.1 \times 10^{-31} \;kg\) द्रव्यमान का कोई कण किसी माध्यम में \(10^{6} \;m / s\) की चाल से गति करता है और किसी विकिरण का कोई फोटॉन जिसका रेखीय संवेग \(10^{-27} \;kg\; m / s\) है निर्वात में गति करता है। फोटॉन की तरंगदैर्ध्य कण की तरंगदैर्ध्य का \(\dots\) गुना है।

क्षैतिज से \(30^{\circ}\) एवं \(60^{\circ}\) के कोणों पर दो प्रक्षेप्य समान चालों से प्रक्षेपित किए जाते हैं। क्रमशः प्रक्षेप्यों द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाइयों का अनुपात है:

दो प्लेटों \(\mathrm{A}\) व \(\mathrm{B}\) की ऊष्मा चलाकताएं क्रमशः \(84 \mathrm{Wm}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\) तथा \(126 \mathrm{Wm}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\) हैं। उनकी मोटाई व पृष्ठ क्षेत्रफल एक समान हैं। वे अपने तलों के साथ संपर्क में रखी है। यदि \(\mathrm{A}\) व \(\mathrm{B}\) के बाहरी तलों का तापमान क्रमशः \(100^{\circ} \mathrm{C}\) तथा \(0^{\circ} \mathrm{C}\) है। स्थाई अवस्था में संपर्क तल का तापमान________________\({ }^{\circ} \mathrm{C}\) है।

एक ट्रांसफार्मर की दक्षता \(80 \%\) है जो \(10 \mathrm{~V}\) तथा \(4 \mathrm{~kW}\) पर कार्य करता है। यदि द्वितीयक कुंडली का वोल्टेज \(240 \mathrm{~V}\) है तो द्वितीयक कुंडली में धारा _______ है।

माना एक यादृच्छिक परीक्षण की प्रतिदर्श समष्टि \(\mathrm{S}=\left\{\mathrm{w}_1, \mathrm{w}_2, \ldots\right\}\) है। माना \(\mathrm{P}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{n}}\right)=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{n}-1}\right)}{2}, n \geq 2\). है। माना \(\mathrm{A}=\{2 \mathrm{k}+3 \ell ; \mathrm{k}, \ell \in \mathbb{N}\}\) तथा \(\mathrm{B}=\left\{\mathrm{w}_{\mathrm{n}} ; \mathrm{n} \in \mathrm{A}\right\}\). हैं। तो \(\mathrm{P}(\mathrm{B})\) बराबर है:

माना कि \( X=\{x\in\mathbb{N}:1\le x\le19\} \) और किसी \( a, b\in\mathbb{R} \) के लिए, \( Y=\{ax+b:x\in X\}. \) यदि Y के अवयवों का माध्य और प्रसरण क्रमशः 30 और 750 हैं, तो b के सभी संभावित मानों का योग ___ है।

यदि \( y=y(x) \) अवकल समीकरण \( 16(\sqrt{x+9\sqrt{x}})(4+\sqrt{9+\sqrt{x}})cos~y~dy=(1+2~sin~y)dx, x>0 \) को संतुष्ट करता है और \( y(256)=\frac{\pi}{2}, y(49)=\alpha \) है, तो \( 2~sin~\alpha \) = ___ है।

माना सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=6 \hat{\mathrm{i}}+9 \hat{\mathrm{j}}+12 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\alpha \hat{\mathrm{i}}+11 \hat{\mathrm{j}}-2 \hat{\mathrm{k}}\) तथा \(\overrightarrow{\mathrm{c}}\) इस प्रकार हैं कि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times \overrightarrow{\mathrm{b}}\) है। यदि \(\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{c}}=-12, \overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})=5\) हैं, तो \(\overrightarrow{\mathrm{c}} \cdot(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})\) बराबर है_________

जब यूरेनियम \({ }_{92} U ^{238}\) लैड \({ }_{82} Pb ^{206}\) में विघटित होता है तो कितने एल्फा एवं बीटा कण उत्सर्जित होंगे ?

मान लीजिए
\(\mathrm{f}(x)=\left\{\begin{array}{lc}3 x, & x \lt 0 \\ \min \{1+x+[x], x+2[x]\}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5, & x\gt2,\end{array}\right.\)
जहाँ [.] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है। यदि \(\alpha\) और \(\beta\) उन बिंदुओं की संख्या हैं, जहाँ f क्रमशः असंतत और अवकलनीय नहीं है, तो \(\alpha+\beta\) = ___