ऊर्ध्वाधर तल में किसी प्रक्षेप्य का प्रक्षेप्य-पथ \(y =\alpha x -\beta x ^{2}\), है, यहाँ पर \(\alpha\) और \(\beta\) स्थिरांक हैं तथा \(x\) और \(y\) क्रमशः प्रक्षेपण बिन्दु से प्रक्षेप्य की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दूरियाँ हैं। प्रक्षेप-कोण \(\theta\) और प्रक्षेपक द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई \(H\) का मान होगा।

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सत्यापित हल

उत्तर और हल

सही उत्तर

(A) \(\tan ^{-1} \alpha, \frac{\alpha^{2}}{4 \beta}\)

विस्तृत व्याख्या

\(y =\alpha x -\beta x ^{2}\)

comparing with trajectory equation

\(y = x \tan \theta-\frac{1}{2} \frac{ gx ^{2}}{ u ^{2} \cos ^{2} \theta}\)

\(\tan \theta=\alpha \Rightarrow \theta=\tan ^{-1} \alpha\)

\(\beta=\frac{1}{2} \frac{ g }{ u ^{2} \cos ^{2} \theta}\)

\(u ^{2}=\frac{ g }{2 \beta \cos ^{2} \theta}\)

Maximum height : \(H\)

\(H =\frac{ u ^{2} \sin ^{2} \theta}{2 g }=\frac{ g }{2 \beta \cos ^{2} \theta} \frac{\sin ^{2} \theta}{2 g }\)

\(H =\frac{\tan ^{2} \theta}{4 \beta}=\frac{\alpha^{2}}{4 \beta}\)

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