स्टोक्स नियम प्रमाणित करने के लिए एक परीक्षण में एक छोटी गोली जिसकी त्रिज्या \(r\) एवं घनत्व \(\rho\) है, एक पानी से भरी टंकी की सतह से \(h\) ऊँचाई से गुरूत्वीय क्षेत्र के अन्तर्गत गिरायी जाती है। यदि गोली का पानी में घुसने से तुरंत पहले पानी के अंदर सीमान्त वेग पानी में वेग के बराबर हो तो \(h , r\) पर इस प्रकार समानुपाती है : (वायु की श्यानता गुणांक लें)

A \(r\)
B \(r^{4}\)
C \(r^{3}\)
D \(r^{2}\)

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(B) \(r^{4}\)

Step-by-step Solution

Detailed explanation

After falling through h, the velocity be equal to terminal velocity \(\sqrt{2 gh }=\frac{2}{9} \frac{ r ^{2} g }{\eta}\left(\rho_{\ell}-\rho\right)\) \(\Rightarrow h =\frac{2}{81} \frac{ r ^{4} g \left(\rho_{\ell}-\rho\right)^{2}}{\eta^{2}}\) \(\Rightarrow h \propto r ^{4}\)

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

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