' \(m\) ' द्रव्यमान का एक मनका, ' \(R\) ' त्रिज्या के एक ऊर्ध्वाधर वृत्ताकार घेरे की दीवार पर बिना घर्षण के फिसलता है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। मनका गुरुत्वाकर्षण और घेरे के निचले भाग से जुड़ी एक द्रव्यमानहीन स्प्रिंग ( k ) की संयुक्त क्रिया के तहत गति करता है। स्प्रिंग की साम्यावस्था लंबाई ' \(R\) ' है। यदि मनका घेरे के शीर्ष से (नगण्य) शून्य प्रारंभिक गति से छोड़ा जाता है, तो जब स्प्रिंग की लंबाई ' R ' हो जाती है, उस समय मनके का वेग क्या होगा? (स्प्रिंग नियतांक ' k ' है, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है)

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सत्यापित हल

उत्तर और हल

सही उत्तर

(A) \(\sqrt{3 \mathrm{Rg}+\frac{\mathrm{kR}^2}{\mathrm{~m}}}\)

चरण-दर-चरण हल

विस्तृत व्याख्या

\(\begin{aligned} \text { Work done by gravity } & =m g\left(2 R-R \cos 60^{\circ}\right) \\ & =\frac{3 m g R}{2}\end{aligned}\)
\(\begin{aligned} \text { Work done by spring } & =-\frac{1}{2} k\left(0^2-R^2\right) \\ & =\frac{1}{2} k R^2\end{aligned}\)
कुल कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन
अर्थात् \(\frac{3 m g R}{2}+\frac{k R^2}{2}=\frac{1}{2} m v^2\)
या \(\quad v^2=3 g R+\frac{k R^2}{m}\)
या \(\quad v=\sqrt{3 g R+\frac{k R^2}{m}}\)

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