कमानी स्थिरांक K की कमानी से जुडे किसी पिण्ड की गति आरेख में दर्शाए अनुसार है। गति का समीकरण x ( t)= A t + B t द्वारा दिया गया है, यहाँ = K / m मान लीजिए समय t =0 पर, पिण्ड की स्थिति x (0) तथा वेग v (0) है, तब इसका विस्थापन भी, x ( t)= C ( t -), द्वारा निरूपित होगा, यहाँ C और है।

(A) {C}=\sqrt{\frac{2 {v}(0)^{2}}{\omega^{2}}+{x}(0)^{2}}, \phi=\tan ^{-1}\left(\frac{{x}(0) \omega}{2 {v}(0)}\right)

(B) {C}=\sqrt{\frac{{v}(0)^{2}}{\omega^{2}}+{x}(0)^{2}}, \phi=\tan ^{-1}\left(\frac{{x}(0) \omega}{{v}(0)}\right)

(C) C=\sqrt{\frac{2 v(0)^{2}}{\omega^{2}}+x(0)^{2}}, \phi=\tan ^{-1}\left(\frac{v(0)}{x(0) \omega}\right)

JEE Mains · Physics · STD 11 - दोलन

कमानी स्थिरांक \(K\) की कमानी से जुडे किसी पिण्ड की गति आरेख में दर्शाए अनुसार है। गति का समीकरण \(x ( t )= A \sin \omega t + B \cos \omega t\) द्वारा दिया गया है, यहाँ \(\omega=\sqrt{\frac{ K }{ m }}\) मान लीजिए समय \(t =0\) पर, पिण्ड की स्थिति \(x (0)\) तथा वेग \(v (0)\) है, तब इसका विस्थापन भी, \(x ( t )= C \cos (\omega t -\phi)\), द्वारा निरूपित होगा, यहाँ \(C\) और \(\phi\) है।

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(D) \({C}=\sqrt{\frac{{v}(0)^{2}}{\omega^{2}}+{x}(0)^{2}}, \phi=\tan ^{-1}\left(\frac{{v}(0)}{{x}(0) \omega}\right)\)

विस्तृत व्याख्या

\(x={A} \sin \omega {t}+{B} \sin \omega {t}\)

\({v} ={A} \sin \omega {t}+{Bcos} \omega {t}\)

\({{dt}}={A} \omega \cos \omega {t}-{B} \omega \sin \omega {t}\)

\({At} {t}=0, {x}(0)={B}\)

\({v}(0)={A} \omega\)

\({x}={A} \sin \omega {t}+{B} \sin \left(\omega {t}+90^{\circ}\right)\)

\(A_{\text {net }}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\)

\(\tan \alpha=\frac{B}{A} \Rightarrow \cot \alpha=\frac{A}{B}\)

\(\Rightarrow \quad x=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \sin (\omega t+\alpha)\)

\(\Rightarrow \quad x=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \cos (\omega t-(90-\alpha))\)

\(x=C \cos (\omega t-\phi)\)

\(\Rightarrow C=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\)

\(C= \sqrt{\frac{[v(0)]^{2}}{\omega^{2}}+[x(0)]^{2}}\)

\(\phi= 90-\alpha\)

\(\tan \alpha=\cos \alpha=\frac{A}{B}\)

\(\Rightarrow \tan \phi=\frac{v(0)}{x(0) \cdot \omega}\)

\(\phi= \tan ^{-1}\left(\frac{v(0)}{x(0) \omega}\right)\)

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