जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, \(m\) द्रव्यमान के गोलक को एक द्रव्यमानरहित डोर से लटकाया गया है। डोर को दूसरी ओर एक उपचक्र की त्रिज्या \(r\) और द्रव्यमान \(m\) है। जब गोलक को विरामावस्था से छोडा जाता है तो यह ऊर्ध्वाधर दिशा में गिरने लगता है। इस प्रकार गिरते हुए जब गोलक \(h\) दूरी तय कर ले तो उपचक्र की कोणीय गति होगी।

A \(\frac{1}{r} \sqrt{\frac{2 g h}{3}}\)
B \( r \sqrt{\frac{3}{4 g h}}\)
C \( \frac{1}{r} \sqrt{\frac{4 g h}{3}}\)
D \({r} \sqrt{\frac{3}{2 g h}}\)

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(C) \( \frac{1}{r} \sqrt{\frac{4 g h}{3}}\)

Step-by-step Solution

Detailed explanation

\(\mathrm{mgh}=\frac{1}{2} \mathrm{mv}^{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \mathrm{mr}^{2} \times \frac{\mathrm{v}^{2}}{\mathrm{r}^{2}}=\frac{3}{4} \mathrm{mv}^{2}\) \(\mathrm{u}=\sqrt{\frac{4}{3} \mathrm{gh}}\) \(\omega=\frac{V}{r}\) \(\omega= \frac{1}{r} \sqrt{\frac{4 g h}{3}}\)

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

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