द्रव्यमान \(M\) तथा त्रिज्या \(R\) की एक पतली डिस्क का प्रति इकाई क्षेत्रफल द्रव्यमान \(\sigma( r )= kr ^{2}\) है जहाँ \(r\) केन्द्र से दूरी है। डिस्क के केन्द्र से जाने वाली तथा इसके लम्बवत् अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण होगा।

एक अनुप्रस्थ तरंग समीकरण \(y =2 \sin\) \((\omega t - kx ) cm\) द्वारा प्रदर्शित है। उस तरंगदैर्ध्य का मान \(( cm\) में) ज्ञात कीजिए, जिस पर तरंग वेग, कण के अधिकतम वेग के बराबर होगा ;

द्रव्यमान \(m\) और \(M,(M \gt m)\) के दो गुटके एक घर्षण रहित मेज पर रखे गए हैं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। एक द्रव्यमान रहित स्प्रिंग स्प्रिंग नियतांक k के साथ निचले गुटके से जुड़ी हुई है। यदि निकाय को थोड़ा विस्थापित करके छोड़ दिया जाए, तो
(\(\mu=\) दोनों गुटकों के बीच घर्षण गुणांक)

(A) दोनों गुटकों के छोटे दोलनों का आवर्तकाल \(\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{(\mathrm{~m}+\mathrm{M})}{\mathrm{k}}}\) है
(B) गुटकों का त्वरण \(\mathrm{a}=\frac{\mathrm{kx}}{\mathrm{M}+\mathrm{m}}\) है (\(\mathrm{x}=\) माध्य स्थिति से गुटकों का विस्थापन)
(C) ऊपरी गुटके पर घर्षण बल का परिमाण \(\frac{m \mu|x|}{M+m}\) है
(D) यदि ऊपरी गुटका फिसलता नहीं है, तो उसका अधिकतम आयाम \(\frac{\mu(M+m) g}{k}\) है
(E) अधिकतम घर्षण बल \(\mu(\mathrm{M}+\mathrm{m}) \mathrm{g}\) हो सकता है।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

चित्रानुसार धारिता \(C _1\) तथा \(C _2\) वाले दो संधारित्रों को क्रमशः जोड़ा जाता है। प्रारंभ में संधारित्र \(C _1\) को एक बैटरी द्वारा विभवान्तर \(V\) तक आवेशित किया जाता है। फिर बैटरी को हटाकर आवेशित संधारित्र \(C _1\) को अनावेशित संधारित्र \(C _2\) से स्विच \(S\) को बंद करके जोड़ दिया जाता है। साम्यावस्था के पश्चात् संधारित्र \(C _2\) पर आवेश की मात्रा हैं:

जब UV प्रकाश जिसका तरंगदैर्ध्य \(300 \mathrm{~nm}\) है, \(2.13 \mathrm{eV}\) कार्य फलन वाली धातु की सतह पर आपतित होता है, तो इलेक्ट्रॉन उत्सर्जन होता है। निरोधी विभव _______ है। (दिया गया है hc \(=1240 \mathrm{eV} \mathrm{nm}\) )

\(10 \Omega\) प्रतिरोध वाले किसी तार का एक द्रव्यमानहीन वर्गाकार लूप \(1 \mathrm{~g}\) के द्रव्यमान को साधे हुए है। इसे ऊर्ध्वाधर इस प्रकार लटकाया जाता है कि इसकी एक भुजा, किसी \(10^3 \mathrm{G}\) (गौस) मान के एक समान चुम्बकीय क्षेत्र में है, जिसकी दिशा छायांकित क्षेत्र की तरफ बाहर की ओर है। एक दिष्ट धारा (\(DC\)) विभव \(\mathrm{V}\) इस घेरे में आरोपित किया जाता है। \(\mathrm{V}\) के किस मान के लिए, चुम्बकीय बल, कि \(1 \mathrm{~g}\) द्रव्यमान के भार को ठीक संतुलित करेगा ? (माना कि पांश की भुजा \(\left.=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{~g}=10 \mathrm{~ms}^{-2}\right)\)

किसी दढ़ द्विपरमाणुक गैस का \(1\) मोल \(Q\) मात्रा में ऊष्मा की आपूर्ति किए जाने पर \(Q / 5\) कार्य करता है। इस रूपान्तरण की अवधि में इस गैस की मोलर ऊष्मा धारिता \(\frac{ xR }{8}\) होगी। \(x\) का मान \(.....\) हैं। \([K =\) सार्वत्रिक गैस स्थिरांक है \(]\)

माना \(A =\left[\begin{array}{ccc}2 & b & 1 \\ b & b ^{2}+1 & b \\ 1 & b & 2\end{array}\right]\) जहाँ \(b > 0\) है। तब \(\frac{\operatorname{det}( A )}{ b }\) का न्यूनतम मान होगा 

यदि \(\lim _{\mathrm{t} \rightarrow 0}\left(\int_0^1(3 x+5)^{\mathrm{t}} \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{t}}=\frac{\alpha}{5 \mathrm{e}}\left(\frac{8}{5}\right)^{\frac{2}{3}}\), तो \(\alpha\) = __________

माना C वृत्त \(\mathrm{x}^2+(\mathrm{y}-1)^2=2\) है, \(\mathrm{E}_1\) और \(\mathrm{E}_2\) दो दीर्घवृत्त हैं जिनके केंद्र मूल-बिंदु पर स्थित हैं और जिनके दीर्घ अक्ष क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष पर स्थित हैं। माना सरल रेखा \(x+y=3\) वक्रों \(C\), \(E_1\) और \(E_2\) को क्रमशः \(P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)\) और \(R\left(x_3, y_3\right)\) पर स्पर्श करती है। दिया गया है कि \(P\) रेखाखंड \(Q R\) का मध्य-बिंदु है और \(P Q=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\), तो \(9\left(x_1 y_1+x_2 y_2+x_3 y_3\right)\) = __________

दो आयनों, जिनके द्रव्यमान समान हैं, पर आवेशों का अनुपात \(1: 2\) है। इन्हें किसी एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र में क्षेत्र के अभिलम्बवत् \(2: 3\) के अनुपात में चालों से प्रक्षेपित किया गया है। इनके वत्तीय प्रक्षेप पथों की त्रिज्याओं का अनुपात होगा।

एक थैले में 5 नीली और 4 पीली गेंदे हैं। इसमें से तीन गेंदे यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। मान लीजिए कि यादृच्छिक चर X और Y क्रमशः नीली और पीली गेंदों की संख्या को दर्शाते हैं। यदि \(\bar{X}\) और \(\bar{Y}\) क्रमशः X और Y के माध्य हैं, तो \(7 \bar{X}+4 \bar{Y}\) = ...........

निम्नलिखित में से किस बल को स्थितिज ऊर्जा के पदों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है?