एक उत्तल लेंस जिसका अपवर्तनांक 1.5 और फोकस दूरी \(f=18 cm\) है, उसको जल में डुबोया जाता है। इस लेंस की जल में तथा वायु में फोकस दूरियों का अंतर \(\alpha \times f\) है। \(\alpha\) का मान __________ है।
(जल का अपवर्तनांक \(=4 / 3\) )

स्पष्टीकरण:
लेंस निर्माता सूत्र (Lens Maker's Formula) के अनुसार, लेंस की फोकस दूरी निम्न प्रकार दी जाती है:
\( \frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \)

1. जब लेंस हवा में हो:
\( \frac{1}{f_{air}} = (\mu_g - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \)
\( \mu_g = 1.5 \) और \( f_{air} = f \) रखने पर:
\( \frac{1}{f} = (1.5 - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = 0.5 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \) --- (समीकरण 1)

2. जब लेंस को पानी में डुबोया जाता है:
सापेक्ष अपवर्तनांक \( \frac{\mu_g}{\mu_w} \) हो जाता है।
\( \frac{1}{f_{water}} = \left(\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \)
\( \mu_g = 1.5 \) और \( \mu_w = \frac{4}{3} \) रखने पर:
\( \frac{1}{f_{water}} = \left(\frac{1.5}{4/3} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \left(\frac{4.5}{4} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \)
\( \frac{1}{f_{water}} = (1.125 - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = 0.125 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \) --- (समीकरण 2)

3. समीकरण 1 और समीकरण 2 का अनुपात लेने पर:
\( \frac{f_{water}}{f} = \frac{0.5}{0.125} = 4 \)
इसलिए, \( f_{water} = 4f \)

4. अंतर ज्ञात करना:
फोकस दूरियों में अंतर = \( f_{water} - f_{air} \)
अंतर = \( 4f - f = 3f \)

चूँकि यह दिया गया है कि अंतर \( \alpha \times f \) है, अतः स्पष्ट है कि \( \alpha = 3 \)।

इसलिए, विकल्प C सही उत्तर है।