1.5 વક્રીભવનાંક અને \(f = 18 cm\) કેન્દ્રલંબાઈના બહિર્ગોળ લેન્સને પાણીમાં ડૂબાડેલો છે. આપેલા લેન્સની પાણીમાંની કેન્દ્રલંબાઈ અને હવામાંની કેન્દ્રલંબાઈનો તફાવત \(\alpha \times f\) છે. \(\alpha\) નું મૂલ્ય __________છે.
(પાણીનો વક્રીભવનાંક = 4/3)

સ્પષ્ટીકરણ:
લેન્સ મેકરના સૂત્ર (Lens Maker's Formula) મુજબ, લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય:
\( \frac{1}{f} = (\mu_{rel} - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \)

1. જ્યારે લેન્સ હવામાં હોય:
\( \frac{1}{f_{air}} = (\mu_g - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \)
અહીં \( \mu_g = 1.5 \) અને \( f_{air} = f \) મૂકતાં:
\( \frac{1}{f} = (1.5 - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = 0.5 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \) --- (સમીકરણ 1)

2. જ્યારે લેન્સને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે:
સાપેક્ષ વક્રીભવનાંક \( \frac{\mu_g}{\mu_w} \) થશે.
\( \frac{1}{f_{water}} = \left(\frac{\mu_g}{\mu_w} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \)
અહીં \( \mu_g = 1.5 \) અને \( \mu_w = \frac{4}{3} \) મૂકતાં:
\( \frac{1}{f_{water}} = \left(\frac{1.5}{4/3} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = \left(\frac{4.5}{4} - 1\right)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \)
\( \frac{1}{f_{water}} = (1.125 - 1)\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = 0.125 \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) \) --- (સમીકરણ 2)

3. સમીકરણ 1 અને સમીકરણ 2 નો ગુણોત્તર લેતાં:
\( \frac{f_{water}}{f} = \frac{0.5}{0.125} = 4 \)
આથી, \( f_{water} = 4f \)

4. તફાવત શોધવો:
કેન્દ્રલંબાઈઓનો તફાવત = \( f_{water} - f_{air} \)
તફાવત = \( 4f - f = 3f \)

આપેલ છે કે આ તફાવત \( \alpha \times f \) જેટલો છે, તેથી સ્પષ્ટ છે કે \( \alpha = 3 \).

આથી, વિકલ્પ C એ સાચો વિકલ્પ છે.