एक समांतर प्लेट वायु संधारित्र एक बैटरी से जुड़ा है। प्लेटों को एकसमान चाल \(v\) से दूर खींचा जाता है। यदि किसी भी क्षण प्लेटों के बीच की दूरी \(x\) है, तो संधारित्र की स्थिरवैद्युत ऊर्जा के समय के साथ परिवर्तन की दर \(x^\alpha\) के समानुपाती है, जहाँ \(\alpha\) है _____।

एक समांतर प्लेट संधारित्र की स्थिरवैद्युत ऊर्जा \(U = \dfrac{1}{2} C V^2\) द्वारा दी जाती है।

एक समांतर प्लेट संधारित्र के लिए, धारिता \(C = \dfrac{\varepsilon_0 A}{x}\) होती है, जहाँ \(x\) प्लेटों के बीच की दूरी है।

चूँकि संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है, इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर \(V\) स्थिर रहता है।

\(C\) को ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

\(U = \dfrac{\varepsilon_0 A V^2}{2x}\)

स्थिरवैद्युत ऊर्जा के समय के साथ परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए \(U\) का समय \(t\) के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\(\dfrac{dU}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\varepsilon_0 A V^2}{2x} \right) = -\dfrac{\varepsilon_0 A V^2}{2x^2} \dfrac{dx}{dt}\)

दिया गया है कि प्लेटों को एकसमान चाल \(v\) से दूर खींचा जाता है, इसलिए हमारे पास \(\dfrac{dx}{dt} = v\) है।

\(\dfrac{dU}{dt} = -\dfrac{\varepsilon_0 A V^2 v}{2x^2}\)

उपरोक्त व्यंजक से यह स्पष्ट है कि \(\dfrac{dU}{dt} \propto x^{-2}\)।

इसकी \(x^\alpha\) से तुलना करने पर, हमें \(\alpha = -2\) प्राप्त होता है।

उत्तर: \(-2\)