एक प्रत्यावर्ती वोल्टेज \(\mathrm{V}(\mathrm{t})=220 \sin 100 \pi \mathrm{t}\) वोल्ट को \(50 \Omega\) के शुद्ध प्रतिरोधक लोड से जोड़ा गया है। धारा के अर्द्ध शिखर मान तक बढ़ने में लगा समय _______ है।

प्रत्यावर्ती वोल्टेज का दिया गया समीकरण:
\( V(t) = 220 \sin(100 \pi t) \)

इसकी तुलना मानक प्रत्यावर्ती वोल्टेज समीकरण \( V(t) = V_0 \sin(\omega t) \) से करने पर, हमें प्राप्त होता है:
शिखर वोल्टेज, \( V_0 = 220\text{ V} \)
कोणीय आवृत्ति, \( \omega = 100 \pi\text{ rad/s} \)

एक शुद्ध प्रतिरोधी भार के लिए, धारा \( I(t) \) वोल्टेज के साथ समान कला (phase) में होती है और इसे निम्न प्रकार व्यक्त किया जाता है:
\( I(t) = I_0 \sin(\omega t) \) (जहाँ \( I_0 \) धारा का शिखर मान है)

चरण 1: वह समय \( t_1 \) ज्ञात करना जब धारा अपने शिखर मान के आधे \( \left(\frac{I_0}{2}\right) \) तक पहुँचती है:
\( I(t_1) = \frac{I_0}{2} \)
\( I_0 \sin(\omega t_1) = \frac{I_0}{2} \)
\( \sin(\omega t_1) = \frac{1}{2} \)
\( \omega t_1 = \frac{\pi}{6} \implies t_1 = \frac{\pi}{6\omega} \)

चरण 2: वह समय \( t_2 \) ज्ञात करना जब धारा अपने पूर्ण शिखर मान \( (I_0) \) तक पहुँचती है:
\( I(t_2) = I_0 \)
\( I_0 \sin(\omega t_2) = I_0 \)
\( \sin(\omega t_2) = 1 \)
\( \omega t_2 = \frac{\pi}{2} \implies t_2 = \frac{\pi}{2\omega} \)

चरण 3: शिखर मान के आधे से पूर्ण शिखर मान तक बढ़ने में लगा समय \( t \) ज्ञात करना:
\( t = t_2 - t_1 = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{6\omega} \)
\( t = \frac{3\pi - \pi}{6\omega} = \frac{2\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{3\omega} \)

आपके संशय का स्पष्टीकरण (\( \frac{\pi}{3\omega} = \frac{\pi}{300\pi} \) कैसे आया):
चूंकि दिए गए वोल्टेज समीकरण से हमें \( \omega = 100\pi \) प्राप्त हुआ है, इसलिए इस मान को हर (denominator) में रखने पर:
\( 3\omega = 3 \times 100\pi = 300\pi \)

अब, समय के समीकरण में \( \omega = 100\pi \) रखने पर:
\( t = \frac{\pi}{3 \times 100\pi} = \frac{\pi}{300\pi} \)
\( t = \frac{1}{300}\text{ सेकंड} \)

सेकंड को मिलीसेकंड में बदलने पर (\( 1\text{ s} = 1000\text{ ms} \)):
\( t = \frac{1}{300} \times 1000\text{ ms} = \frac{10}{3}\text{ ms} \approx 3.33\text{ ms} \)

अतः, सही विकल्प B है।