एक कण एक सरल रेखा में सरल आवर्त गति से गतिशोल है। यह विरामावस्था से प्रारम्भ कर प्रथम \(\tau\) सैकिण्ड में दूरी \(a\) और अगले \(\tau\) सैकिण्ड में दूरी \(2 a\) उसी दिशा में तय करता है। तब:

At \(t=0, x=A\)

\(x= Acos\omega t\)                     \(...(i)\)

\( When\,\,\, t=\tau, x=A-a\)

When \(t=2 \tau, x=A-3 a\)

From equation \(( i )\)

\(A-a=A \cos \omega \tau\)                    \(...(ii)\)

\(A-3 a=A \cos 2 \omega \tau\)              \(...(iii)\)

As \(\cos 2 \omega \tau=2 \cos ^{2} \omega \tau-1 \ldots(\mathrm{iv})\)

From equation \((ii),\) \((iii)\) and \((iv)\)

\(\frac{A-3 a}{A}=2\left(\frac{A-a}{A}\right)^{2}-1\)

\(\Rightarrow \quad \frac{A-3 a}{A}=\frac{2 A^{2}+2 a^{2}-4 A a-A^{2}}{A^{2}}\)

\(\Rightarrow A^{2}-3 a A=A^{2}+2 a^{2}-4 A a\)

\(\Rightarrow \quad 2 a^{2}=a A \Rightarrow \quad A=2 a\)

\(\Rightarrow \quad \frac{a}{A}=\frac{1}{2}\)

Now, \(A-a=A \cos \omega \tau\)

\(\Rightarrow \quad \cos \omega \tau=\frac{A-a}{A} \Rightarrow \quad \cos \omega \tau=\frac{1}{2}\)

or, \(\quad \frac{2 \pi}{T} \tau=\frac{\pi}{3} \Rightarrow \quad \mathrm{T}=6 \tau\)