एक गोले का व्यास एक वर्नियर कैलीपर का उपयोग करके मापा जाता है जिसके मुख्य पैमाने के \(9\) भाग वर्नियर पैमाने के \(10\) भागों के बराबर हैं। मुख्य पैमाने पर सबसे छोटा भाग \(1 \mathrm{~mm}\) के बराबर है। मुख्य पैमाने का पाठ्यांक \(2 \mathrm{~cm}\) है और वर्नियर पैमाने का दूसरा भाग मुख्य पैमाने पर एक भाग से संपाती होता है। यदि गोले का द्रव्यमान \(8.635 \mathrm{~g}\) है, तो गोले का घनत्व _______ है।

माना \(R\) त्रिज्या तथा \(I\) धारा वहन करने वाली एक वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण \(B_1\) है। तथा केंद्र से ' \(x\) ' की अक्षीय दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण \(B_2\) है। यदि \(x: R=3: 4\) हो, तो \(\frac{B_2}{B_1}\) का मान है :

एक बहु-परमाणुक अणु (जहाँ \(R\) गैस स्थिरांक है, \(C_V=3 R, C_P=4 R\)) अवस्था समष्टि बिंदु \(\mathrm{A}\left(\mathrm{P}_{\mathrm{A}}=10^5 \mathrm{~Pa}, \mathrm{~V}_{\mathrm{A}}=4 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^3\right)\) से बिंदु \(\mathrm{B}\left(\mathrm{P}_{\mathrm{B}}=5 \times 10^4 \mathrm{~Pa}, \mathrm{~V}_{\mathrm{B}}=6 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^3\right)\) तक और फिर बिंदु \(\mathrm{C}\left(\mathrm{P}_{\mathrm{C}}=10^4\right.\) \(\left.\mathrm{Pa}, \mathrm{V}_{\mathrm{C}}=8 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^3\right)\) तक जाता है। \(A\) से \(B\) तक का मार्ग रुद्धोष्म है और \(B\) से \(C\) तक का मार्ग समतापी है। निकाय द्वारा प्रति मोल अवशोषित कुल ऊष्मा है :

दो गैसों-आर्गन (परमाणु की त्रिज्या \(=0.07\, nm\) और परमाणु भार \(=40\) ), तथा जीनॉन (परमाणु की त्रिज्या \(=0.1\, nm\), परमाणु भार \(=140\) ) के इकाई आयतन में परमाणु ओं की संख्या एकसमान है तथा उनका तापमान भी एकसमान है। इन गैसों (आर्गन और जीनॉन) के परमाणुओं के औसत मुक्त काल(mean free time) का अनुपात निम्न में से किसके निकटतम है ?

एक विघुत चुम्बकीय तरंग का निर्वात में आवृति \(2.0 \times 10^{10}\, Hz\) एवं ऊर्जा घनत्व \(1.02 \times 10^{-8} J / m ^{3}\) है। तरंग के चुम्बकीय क्षेत्र के आयाम का सन्निकट मान .........\(nT\) होगा \(\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}=9 \times 10^{9} \frac{ Nm ^{2}}{ C ^{2}}\right.\) तथा प्रकाश का वेग \(\left.=3 \times 10^{8} ms \right)\) :

यदि \(\overrightarrow{ P } \times \overrightarrow{ Q }=\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }, \overrightarrow{ P }\) और \(\overrightarrow{ Q }\) के बीच के कोण \(\theta\left(0^{\circ}<\theta<360^{\circ}\right)\) है। \(\theta\) का मान \(......\,{ }^{\circ}\) होगा।

\(L\) लम्बाई के एक सरल दोलक को चित्रानुसार एक समान्तर प्लेट संधारित्र के मध्य, जिसमें विधुत क्षेत्र \(E\) है, में रखा है। इसके लोलक का द्रव्यमान \(m\) तथा आवेश \(q\) है। इस दोलक का आवर्तकाल होगा ?

एक वर्ग के केंद्र पर कुल गुरुत्वाकर्षण बल \( F_{1} \) पाया जाता है जब M, 2M, 3M और 4M द्रव्यमान वाले चार कणों को वर्ग के चारों कोनों पर रखा जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है और यह \( F_{2} \) होता है जब 3M और 4M की स्थितियाँ आपस में बदल दी जाती हैं। अनुपात \( \frac{F_{1}}{F_{2}} \) \( \frac{\alpha}{\sqrt{5}} \) है। \( \alpha \) का मान __________ है।

वृत्त \(x^2+y^2=169\) के रेखा \(5 x-y=13\) से नीचे के भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में \(\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)\) है, जहाँ \(\alpha, \beta\) असहभाज्य संख्याएँ है। तो \(\alpha+\beta\) = ...........

यदि एक यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन

x	0	1	2	3	4	5	6	7
p(x)	0	2k	k	3k	\(2 k ^2\)	2k	\(k ^2+ k\)	\(7 k ^2\)

तो \(P (3< x \leq 6)\) = ___ है।

दिए गए आरेख में \(M\) द्रव्यमान का एक पिण्ड एक क्षैतिज कमानी से बंधा हैं, जिसका दूसरा सिरा किसी दढ़ सपोर्ट से जुड़ा है। कमानी का कमानी स्थिरांक \(k\) है। यह पिण्ड किसी घर्षणहीन पष्ठ पर आवर्तकाल \(T\) और आयाम \(A\) के साथ दोलन करता है। जब यह पिण्ड साम्यावस्था की स्थिति पर होता है (आरेख देखिए) तब कोई अन्य पिण्ड, जिसका द्रव्यमान \(m\) है, इस पिण्ड के ऊपर धीरे से जोड़ दिया जाता है। अब दोलन का नया आयाम होगा।

मान लीजिए \(S=\left\{\sin ^2 2 \theta:\left(\sin ^4 \theta+\cos ^4 \theta\right) x^2+(\sin 2 \theta) x+\right.\) \(\left(\sin ^6 \theta+\cos ^6 \theta\right)=0\) के वास्तविक मूल हैं।\(\}\) यदि \(\alpha\) और \(\beta\) क्रमशः समुच्चय \(S\) के सबसे छोटे और सबसे बड़े अवयव हैं, तो \(3\left((\alpha-2)^2+(\beta-1)^2\right)\) = ...........

माना कि \(f\) अंतराल \((0, \infty)\) में एक अवकलनीय फलन है इस प्रकार कि \(f(1)=1\) और प्रत्येक \(x>0\) के लिए \(\lim _{t \rightarrow x} \frac{t^2 f(x)-x^2 f(t)}{t-x}=1\)। तो \(2 f(2)+3 f(3)\) = ...........