एक धात्विक वलय समान रूप से आवेशित है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। AC और BD दो परस्पर लंबवत व्यास हैं। \(\operatorname{arc} \mathrm{AB}\) के कारण ' O ' पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण ' E ' है। चाप ABC के कारण ' O ' पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण क्या होगा?

मान लीजिए कि धातु की अंगूठी (metallic ring) को चार समान चतुर्थांशों (quadrants) में विभाजित किया गया है: चाप (arc) AB, चाप BC, चाप CD, और चाप DA।

चूंकि आवेश वितरण (charge distribution) एकसमान है, इसलिए प्रत्येक चतुर्थांश के कारण केंद्र 'O' पर विद्युत क्षेत्र (electric field) का परिमाण (magnitude) समान होगा। हमें दिया गया है कि चाप AB के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण \( E \) है।

किसी भी एकसमान आवेशित चाप के लिए विद्युत क्षेत्र सदिश (vector) उसके कोण समद्विभाजक (angle bisector) के अनुदिश, धनात्मक आवेश से दूर की ओर होता है।
- मान लीजिए कि चाप AB के कारण विद्युत क्षेत्र \( \vec{E}_{AB} \) है (परिमाण = \( E \))।
- मान लीजिए कि चाप BC के कारण विद्युत क्षेत्र \( \vec{E}_{BC} \) है (परिमाण = \( E \))।

चूंकि AC और BD परस्पर लंबवत व्यास (mutually perpendicular diameters) हैं, इसलिए चतुर्थांश AB और BC एक दूसरे से 90° के कोण पर हैं। परिणामस्वरूप, उनके संबंधित विद्युत क्षेत्र सदिश, \( \vec{E}_{AB} \) और \( \vec{E}_{BC} \), भी एक दूसरे के लंबवत होंगे।

संयुक्त चाप ABC के कारण 'O' पर कुल विद्युत क्षेत्र, चाप AB और चाप BC के क्षेत्रों का सदिश योग (vector sum) है। चूंकि दोनों सदिश लंबवत हैं, हम पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem) का उपयोग करके परिणामी परिमाण की गणना करते हैं:

\( E_{ABC} = \sqrt{|\vec{E}_{AB}|^2 + |\vec{E}_{BC}|^2} \)

\( E_{ABC} = \sqrt{E^2 + E^2} \)

\( E_{ABC} = \sqrt{2E^2} = \sqrt{2}E \)