एक अध्रुवित प्रकाश चित्र में दर्शाए गए वायु-परावैद्युत माध्यम के समतल अंतरापृष्ठ पर आपतित होता है। यदि आपतन कोण ब्रूस्टर कोण के बराबर है, तो परावर्तित तरंग को निरूपित करने वाले व्यंजक की पहचान कीजिए।

दिए गए चित्र से, आपतित प्रकाश किरणें \(xz\)-तल में हैं। अतः, आपतन का तल \(xz\)-तल है।

आपतित तरंग वायु (\(z < 0\)) से माध्यम (\(z > 0\)) की ओर गमन करती है, अतः यह \(+x\) और \(+z\) दिशाओं में संचरित होती है। परावर्तित तरंग वापस वायु में गमन करेगी, जिसका अर्थ है कि यह \(+x\) और \(-z\) दिशाओं में संचरित होती है।

परावर्तित तरंग के लिए तरंग सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है \(\vec{k}_r = k_x \hat{i} - k_z \hat{k}\)।
परावर्तित तरंग की कला को \(\vec{k}_r \cdot \vec{r} - \omega t = k_x x - k_z z - \omega t\) द्वारा दिया जाता है। यह कला विकल्प (1) में दिए गए व्यंजक से मेल खाती है।

ब्रूस्टर के नियम के अनुसार, जब अध्रुवित प्रकाश ब्रूस्टर कोण पर आपतित होता है, तो परावर्तित प्रकाश आपतन के तल के लंबवत पूर्णतः ध्रुवित होता है। चूँकि आपतन का तल \(xz\)-तल है, अतः परावर्तित विद्युत क्षेत्र पूरी तरह से \(y\)-अक्ष (\(\hat{j}\) दिशा) के अनुदिश होना चाहिए।

आइए इसे विकल्प (1) से सत्यापित करें, जो विद्युत क्षेत्र को \(\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j}\) के रूप में देता है।
एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए, विद्युत क्षेत्र संचरण की दिशा के लंबवत होना चाहिए, अतः \(\vec{k}_r \cdot \vec{E} = 0\)।
\((k_x \hat{i} - k_z \hat{k}) \cdot (E_x \hat{i} + E_y \hat{j}) = 0\)
\(k_x E_x = 0\)

चूँकि \(k_x \neq 0\), अतः \(E_x = 0\) होना चाहिए। यह \(\vec{E} = E_y \hat{j}\) छोड़ता है, जिसका अर्थ है कि तरंग \(y\)-अक्ष के अनुदिश पूर्णतः ध्रुवित है। यह ब्रूस्टर कोण पर परावर्तन की शर्त को पूर्णतः संतुष्ट करता है।

इस प्रकार, परावर्तित तरंग को निरूपित करने वाला सही व्यंजक \((E_x\hat{i} + E_y\hat{j})\sin(kx - kz - \omega t)\) है।

उत्तर: \((E_x\hat{i} + E_y\hat{j})\sin(kx - kz - \omega t)\)