दो सदिशों \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) का परिणाम \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) के लंब है और इसका परिमाण \(\vec{B}\) का आधा है। सदिशों \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) के बीच का कोण _______ है।

स्पष्टीकरण:
मान लीजिए सदिश \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) के बीच का कोण \(\alpha\) है, और परिणामी सदिश \(\vec{R}\) है। हम सदिश घटकों का विश्लेषण ज्यामितीय या विश्लेषणात्मक रूप से कर सकते हैं:

1. विश्लेषणात्मक विधि (Analytical Method):
चूंकि परिणामी सदिश \(\vec{R}\), सदिश \(\vec{A}\) के लंबवत है, इसलिए \(\vec{R}\) का \(\vec{A}\) की दिशा में कोई घटक नहीं होगा। इसके घटक निम्नलिखित प्रकार होंगे:
- \(\vec{A}\) की दिशा में घटक: \(A + B \cos\alpha = 0 \implies \cos\alpha = -\frac{A}{B}\)
- \(\vec{A}\) के लंबवत घटक: \(R = B \sin\alpha\)

2. दिए गए प्रतिबंधों का उपयोग करने पर:
प्रश्न के अनुसार परिणामी का परिमाण \(\vec{B}\) का आधा है, यानी \(R = \frac{B}{2}\)। इसे लंबवत घटक वाले समीकरण में रखने पर:
\( \frac{B}{2} = B \sin\alpha \implies \sin\alpha = \frac{1}{2} \)

3. कोण (\(\alpha\)) का निर्धारण:
चूंकि \(\cos\alpha = -\frac{A}{B}\) ऋणात्मक है (क्योंकि परिमाण \(A\) और \(B\) धनात्मक हैं), इसलिए कोण \(\alpha\) द्वितीय चतुर्थांश (second quadrant) में होना चाहिए (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\))।
द्वितीय चतुर्थांश में \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\) के लिए:
\( \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)

4. ج्यामितीय सत्यापन (Geometric Verification):
यदि परिणामी \(\vec{R}\) और \(\vec{B}\) के बीच का कोण \(\theta\) माना जाए, तो चित्र के अनुसार:
\( \cos\theta = \frac{R}{B} = \frac{\left(\frac{B}{2}\right)}{B} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ \)
चूंकि \(\vec{R}\), \(\vec{A}\) के साथ \(90^\circ\) का कोण बनाता है, इसलिए \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) के बीच का कुल कोण \(\alpha\) होगा:
\( \alpha = 90^\circ + \theta = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \)

अतः, विकल्प C सही उत्तर है।