બે સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) નો પરિણામી સદિશ એ \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) ને લંબ છે અને તેનું માન \(\vec{B}\) ના માનથી અડધું છે. સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો કોણ _______ છે.

સ્પષ્ટીકરણ:
ધારો કે સદિશ \(\vec{A}\) અને સદિશ \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો \(\alpha\) છે, અને પરિણામી સદિશ \(\vec{R}\) છે. આપણે સદિશના ઘટકોનું વિશ્લેષણ નીચે મુજબ કરી શકીએ છીએ:

1. ગાણિતિક રીત (Analytical Method):
પરિણામી સદિશ \(\vec{R}\) એ સદિશ \(\vec{A}\) ને લંબ હોવાથી, \(\vec{R}\) નો સદિશ \(\vec{A}\) ની દિશામાં ઘટક શૂન્ય થશે. તેથી:
- સદિશ \(\vec{A}\) ની દિશામાં ઘટકો: \(A + B \cos\alpha = 0 \implies \cos\alpha = -\frac{A}{B}\)
- સદિશ \(\vec{A}\) ને લંબ દિશામાં ઘટક: \(R = B \sin\alpha\)

2. આપેલી શરતોનો ઉપયોગ કરતાં:
અહીં આપેલ છે કે પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય \(\vec{B}\) કરતાં અડધું છે, એટલે કે \(R = \frac{B}{2}\). આ કિંમત લંબ ઘટકના સમીકરણમાં મૂકતાં:
\( \frac{B}{2} = B \sin\alpha \implies \sin\alpha = \frac{1}{2} \)

3. ખૂણા (\(\alpha\)) નું મૂલ્ય નક્કી કરવું:
અહીં \(\cos\alpha = -\frac{A}{B}\) ઋણ હોવાથી (સદિશના મૂલ્યો \(A\) અને \(B\) હંમેશાં ધન હોય), ખૂણો \(\alpha\) બીજા ચરણમાં (second quadrant) હોવો જોઈએ (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ\)).
બીજા ચરણમાં \(\sin\alpha = \frac{1}{2}\) માટે:
\( \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)

4. ભૂમિતિ દ્વારા ચકાસણી (Geometric Verification):
ધારો કે પરિણામી સદિશ \(\vec{R}\) અને સદિશ \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો \(\theta\) છે. આકૃતિ પરથી ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતાં:
\( \cos\theta = \frac{R}{B} = \frac{\left(\frac{B}{2}\right)}{B} = \frac{1}{2} \implies \theta = 60^\circ \)
સદિશ \(\vec{R}\) એ સદિશ \(\vec{A}\) સાથે \(90^\circ\) નો ખૂણો બનાવતો હોવાથી, \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો કુલ ખૂણો \(\alpha\) નીચે મુજબ થાય:
\( \alpha = 90^\circ + \theta = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ \)

આથી, સાચો જવાબ વિકલ્પ C છે.