द्रव्यमान \(m\) व लम्बाई \(\ell\) की एक एकसमान क्षैतिज छड़ \(AB\) के दो सिरों पर चित्रानुसार, दो द्रव्यमान रहित समरूप कमानियों को जिनका स्प्रिंग नियतांक \(k\) है, क्षैतिज लगायी गयी हैं। छड़ अपने केन्द्र \('O'\) पर धुराग्रस्त है तथा यह क्षैतिज समतल में घूर्णन के लिये स्वतंत्र है। दिखाये गये चित्रानुसार कमानियों के दूसरे सिरों को दो दृढ़ आधारों पर जोड़ा गया है। छड़ को हल्के से एक छोटे कोण से धकेल कर छोड़ दिया जाता है। छड़ के परिणामी दोलनों की आवृत्ति होगी।

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सत्यापित हल

उत्तर और हल

सही उत्तर

(C) \(\frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{6k}}{m}} \)

विस्तृत व्याख्या

Torque on rod at displacement \(\theta\) from mean position \(\theta\) is very small. \(x=\frac{L}{2} \theta\)

\(\tau=2 k x \frac{L}{2}=2 k \frac{L^{2}}{4} \theta=\frac{k L^{2}}{2} \theta\)

Now, \(\tau=1 \alpha\)

\(\frac{\mathrm{kL}^{2}}{2} \theta=\frac{\mathrm{mL}^{2}}{12} \alpha \quad ; \quad \alpha=\frac{6 \mathrm{k}}{\mathrm{m}} \theta\)

\(\tau=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{6 k}{m}}\)

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