एक ठोस गोला (\(A\)) जिसका द्रव्यमान \(5m\) है और एक गोलीय कोश (\(B\)) जिसका द्रव्यमान \(m\) है, दोनों की त्रिज्या समान है, एक खुरदरी सतह पर रखे गए हैं। जब \(A\) और \(B\) के उच्चतम बिंदुओं पर समान परिमाण का एक बल स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है, तो वे क्रमशः \(a_A\) और \(a_B\) के त्वरण के साथ बिना फिसले लुढ़कना शुरू कर देते हैं। \(a_A\) और \(a_B\) का अनुपात __________ है।

द्रव्यमान \(M\) और त्रिज्या \(R\) के किसी पिंड के लिए जो उच्चतम बिंदु पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाए गए बल \(F\) के अधीन बिना फिसले लुढ़क रहा है, जमीन के संपर्क बिंदु के परितः बलाघूर्ण \(\tau = F(2R)\) होता है।

संपर्क बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण \(I = I_{cm} + MR^2\) होता है।

\(\tau = I\alpha\) और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त \(a = \alpha R\) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

\(F(2R) = (I_{cm} + MR^2) \dfrac{a}{R} \Rightarrow a = \dfrac{2FR^2}{I_{cm} + MR^2}\)

ठोस गोले (\(A\)) के लिए जिसका द्रव्यमान \(5m\) है:

\(I_{cm,A} = \dfrac{2}{5}(5m)R^2 = 2mR^2\)

\(a_A = \dfrac{2FR^2}{2mR^2 + 5mR^2} = \dfrac{2F}{7m}\)

गोलीय कोश (\(B\)) के लिए जिसका द्रव्यमान \(m\) है:

\(I_{cm,B} = \dfrac{2}{3}mR^2\)

\(a_B = \dfrac{2FR^2}{\dfrac{2}{3}mR^2 + mR^2} = \dfrac{2F}{\dfrac{5}{3}m} = \dfrac{6F}{5m}\)

उनके त्वरणों का अनुपात है:

\(\dfrac{a_A}{a_B} = \dfrac{\dfrac{2F}{7m}}{\dfrac{6F}{5m}} = \dfrac{2}{7} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{21}\)

उत्तर: \(5 : 21\)