माना \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{~b}}=\overrightarrow{\mathrm{a}} \times(\hat{i}-2 \hat{k})\) और \(\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{b}} \times \hat{k}\)। तब \(\overrightarrow{\mathrm{c}}-2 \hat{j}\) का \(\vec{a}\) पर प्रक्षेप क्या है?

माना \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\) एक \(A.P.\) है। यदि \(\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}}{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{p}}=\frac{100}{p^{2}}, p \neq 10\) है, तो \(\frac{a_{11}}{a_{10}}\) बराबर है

\(3 \times 3\) के आव्यूहों \(A\), जिनके अवयव समुच्चय \(\{0,1,2,3\}\) में से हैं तथा \(AA ^{ T }\) के विकर्ण के सभी अवयवों का योगफल \(9\) है, की कुल संख्या है 

माना \(\mathrm{A}=\{0,3,4,6,7,8,9,10\}\) है तथा \(\mathrm{A}\) पर एक संबंध \(\mathrm{R}, \mathrm{R}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{A} \times \mathrm{A}: \mathrm{x}-\mathrm{y}\) विषम धनात्मक पूर्णांक है या \(x-y=2\) है \(\}\) द्वारा परिभाषित है। संबंध \(\mathrm{R}\) के सममित होने के लिए इसमें कम से कम कितनें अवयव जोड़े जाएँ ?________

मान लीजिए \(\left|\frac{\bar{z}-i}{2 \bar{z}+i}\right|=\frac{1}{3}, z \in C\) एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र \(C\) पर है। यदि उस त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष बिंदु \((0,0), \mathrm{C}\) और \((\alpha, 0)\) हैं, 11 वर्ग इकाई है, तो \(\alpha^2\) = __________

माना तीन रेखाएँ \( \mathrm{L}_1: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}})+\lambda(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}), \lambda \in \mathrm{R} \) \( \mathrm{L}_2: \overrightarrow{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}})+\mu(3 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\mathrm{p} \hat{\mathrm{k}}), \mu \in \mathrm{R}\) तथा \( \mathrm{L}_3: \overrightarrow{\mathrm{r}}=\delta(\ell \hat{\mathrm{i}}+m \hat{\mathrm{j}}+n \hat{\mathrm{k}}) \delta \in \mathrm{R}\) इस प्रकार हैं कि \(\mathrm{L}_1\), रेखा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है तथा \(\mathrm{L}_3\) दोनों रेखाओं \(\mathrm{L}_1\) तथा \(\mathrm{L}_2\) के लंबवत है। तो निम्न में से कौनसा बिंदु \(\mathrm{L}_3\) पर है ?

यदि यादृच्छिक रूप से चुनी गई \(6-\)अंको की संख्या जो कि केवल अंक \(1\) व \(8\) से मिलकर बनाई गई हो, के \(21\) के गुणज होने की प्रायिकता \(p\) हो, तो \(96\,p\) का मान होगा-

माना \(\mathrm{A}\) वास्तविक अवयवों का एक \(2 \times 2\) आव्यूह है जिसके लिए \(\mathrm{A}^{\prime}=\alpha \mathrm{A}+\mathrm{I}\) है \(\alpha \in \mathbb{R}-\{-1,1\}\) है। यदि \(\operatorname{det}\left(A^2-A\right)=4\) है, तो \(\alpha\) के सभी संभव मानों का योग बराबर है

माना अतिपरवलय \(\mathrm{H}: \frac{\mathrm{x}^2}{9}-\frac{\mathrm{y}^2}{4}=1\) पर प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु \(P\) तथा \(H\) फी दो नामियों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल \(2 \sqrt{13}\) है। तो \(\mathrm{P}\) की मूल बिंदु से दूरी का वर्ग ........... है।

माना \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) है। एकैकी फलन \(f: A \rightarrow A\) की संख्या, इस प्रकार कि \(f(1) \geq 3\), \(f(3) \leq 4\) और \(f(2) + f(3) = 5\), __________ है।

माना \(P (4,-4)\) तथा \(Q (9,6)\) परवलय \(y ^{2}=4 x\) पर स्थित दो बिन्दु हैं। \(O\) इस परवलय का शीर्ष बिन्दु है तथा \(X\) इस परवलय की चाप \(POQ\) का कोई ऐसा बिन्दु है, जिसके लिये \(\triangle PXQ\) का क्षेत्रफल अधिकतम है, तो यह अधिकतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाईयों में) है

माना \(\mathrm{ABCD}\) और \(\mathrm{AEFG}\) क्रमशः \(4\) और \(2\) इकाई भुजा के वर्ग हैं। बिंदु \(\mathrm{E}\) रेखाखंड \(\mathrm{AB}\) पर स्थित है और बिंदु \(\mathrm{F}\) विकर्ण \(\mathrm{AC}\) पर है। तब बिंदु \(\mathrm{F}\) से होकर जाने वाले और रेखाखंडों \(\mathrm{BC}\) तथा \(\mathrm{CD}\) को स्पर्श करने वाले वृत्त की त्रिज्या \(r\) ........... को संतुष्ट करती है।

माना बिंदु \(\mathrm{P}(2,3,5)\) का समतल \(2 x+y-3 z=6\) में प्रतिबिंब \((\alpha, \beta, \gamma)\) है। तो \(\alpha+\beta+\gamma\) बराबर है :