माना अतिपरवलय \(\mathrm{H}: \frac{\mathrm{x}^2}{9}-\frac{\mathrm{y}^2}{4}=1\) पर प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु \(P\) तथा \(H\) फी दो नामियों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल \(2 \sqrt{13}\) है। तो \(\mathrm{P}\) की मूल बिंदु से दूरी का वर्ग ........... है।

यदि अवकल समीकरण \(2\left(x^{2}+x^{5 / 4}\right) d y-y\left(x+x^{1 / 4}\right) d x=2 x^{9 / 4} d x, x>0\) का हल वक्र \(y = y ( x )\) है, जो बिन्दु \(\left(1,1-\frac{4}{3} \log _{ e } 2\right)\) से होकर जाता है, तो \(y (16)\) का मान बराबर है

एक टूर्नामेंट में, एक टीम \(10\) मैच खेलती है जिसमें प्रत्येक मैच जीतने और हारने की प्रायिकताएँ क्रमशः \(\frac{1}{3}\) और \(\frac{2}{3}\) हैं। माना \(x\) उन मैचों की संख्या है जो टीम जीतती है, और \(y\) उन मैचों की संख्या है जो टीम हारती है। यदि प्रायिकता \(\mathrm{P}(|\mathrm{x}-\mathrm{y}| \leq 2)\) \(\mathrm{p}\) है, तो \(3^9 \mathrm{p}\) = ...........

श्रेणी \(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^{2}+1}+\frac{2^{2}}{x^{4}+1}+\ldots .+\frac{2^{100}}{x^{2^{100}}+1}\) का योग, जब \(x =2\) है

किसी भी सदिश \(\overrightarrow{\mathrm{a}}=\mathrm{a}_1 \hat{\mathrm{i}}+\mathrm{a}_2 \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{a}_3 \hat{\mathrm{k}}\), \(10\left|\mathrm{a}_{\mathrm{i}}\right|<1, \mathrm{i}=1,2,3\), के लिए निम्न कथनों का विचार कीजिए : \((A)\) : \(\max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\left|a_3\right|\right\} \leq|\vec{a}|\) \((B)\) : : \(|\vec{a}| \leq 3 \max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\left|a_3\right|\right\}\) तो

माना रैखिक समीकरण निकाय \(4 x +\lambda y +2 z =0\) ; \(2 x - y + z =0\) ; \(\mu x +2 y +3 z =0, \lambda, \mu \in R\) का एक अतुच्छ हल है। तो निम्न में से कौन सा सत्य है ?

यदि \(A\) और \(B\) दो घटनाएँ हैं इस प्रकार कि \(P(A)=0.7\), \(\mathrm{P}(\mathrm{B})=0.4\) और \(\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \overline{\mathrm{B}})=0.5\), जहाँ \(\overline{\mathrm{B}}\) घटना \(B\) के पूरक को दर्शाता है, तो \(P(B \mid(A \cup \bar{B}))\) = __________

समीकरण \(\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{4} \cos ^2 2 x\)\(,x \in[-3 \pi, 3 \pi]\) के हलों की संख्या होगी

समीकरण \(\log_{(x+1)}(2x^2+5x+3) = 4 - \log_{(2x+3)}(x^2+2x+1)\) के सभी वास्तविक हलों के वर्गों का योग ________ के बराबर है।

माना \( \alpha, \beta \) द्विघात समीकरण \( 12x^{2}-20x+3\lambda=0 \) जहाँ \( \lambda\in\mathbb{Z} \) के मूल हैं। यदि \( \frac{1}{2}\le|\beta-\alpha|\le\frac{3}{2}, \) तो \( \lambda \) के सभी संभव मानों का योग ___ है।

श्रेणी \(\sum_{ n =1}^{\infty} \frac{ n ^{2}+6 n +10}{(2 n +1) !}\) का योगफल बराबर है

माना \(\mathrm{f}:(0, \infty) \rightarrow \mathrm{R}\) तथा \(\mathrm{F}(\mathrm{x})=\int_0^x \mathrm{tf}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}\) है। यदि \(\mathrm{F}\left(\mathrm{x}^2\right)=\mathrm{x}^4+\mathrm{x}^5\) है तो \(\sum_{\mathrm{r}=1}^{12} \mathrm{f}\left(\mathrm{r}^2\right)\) बराबर है ........

एक उच्च माध्यमिक विद्यालय के \(220\) छात्रों के सर्वेक्षण में, यह पाया गया कि कम से कम \(125\) और अधिक से अधिक \(130\) छात्रों ने गणित का अध्ययन किया; कम से कम \(85\) और अधिक से अधिक \(95\) ने भौतिकी का अध्ययन किया; कम से कम \(75\) और अधिक से अधिक \(90\) ने रसायन विज्ञान का अध्ययन किया; \(30\) ने भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों का अध्ययन किया; \(50\) ने रसायन विज्ञान और गणित दोनों का अध्ययन किया; \(40\) ने गणित और भौतिकी दोनों का अध्ययन किया और \(10\) ने इनमें से किसी भी विषय का अध्ययन नहीं किया। मान लीजिए \(\mathrm{m}\) और \(\mathrm{n}\) क्रमशः उन छात्रों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या है जिन्होंने तीनों विषयों का अध्ययन किया। तो \(\mathrm{m}+\mathrm{n}\) = ...........