એક પીન હોલના કેમેરાના બોક્ષની લંબાઇ \(L\) તથા તેમાં છિદ્રની ત્રિજયા \(a\) છે.એમ ધારવામાં આવે છે કે જો \(\lambda\) તરંગલંબાઇના સમાંતર ધારાવાળા પ્રકાશથી આ છિદ્રને પ્રકાશિત કરવામાં આવે તો સ્પોટનો વિસ્તાર ( કેમેરાની સામેની દિવાલ પર મળતા ) તેના ભૌમિતિક વિસ્તાર અને વિવર્તનના લીધેના વિસ્તારના સરવાળા જેટલો હોય.આ સ્પોટની લઘુતમ સાઝઇ ( \(b_{min}\) કરો ) ત્યારે મળે કે જયારે

A \(a = \sqrt {\lambda L} \) અને \(b_{min}\)=\(\sqrt {4\lambda L} \)
B \(a = \frac{{{\lambda ^2}}}{L}\) અને \(b_{min}\)=\(\sqrt {4\lambda L} \)
C \(a = \frac{{{\lambda ^2}}}{L}\) અને \(b_{min}\)=\(\left( {\frac{{2{\lambda ^2}}}{L}} \right)\)
D \(a = \sqrt {\lambda L} \) અને \(b_{min}\)=\(\left( {\frac{{2{\lambda ^2}}}{L}} \right)\)

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(A) \(a = \sqrt {\lambda L} \) અને \(b_{min}\)=\(\sqrt {4\lambda L} \)

Step-by-step Solution

Detailed explanation

Given geometrical spread \(=\,a\) Diffraction spread \(=\frac{\lambda}{\mathrm{a}} \times \mathrm{L}=\frac{\lambda \mathrm{L}}{\mathrm{a}}\) The sum \(b=a+\frac{\lambda L}{a}\) For \(b\) to be minimum \(\frac{{{\text{db}}}}{{{\text{da}}}} = 0\)…

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

Same subject

Explore more questions on app

From JEE Mains

Explore more questions on app