JEE Mains · Maths · STD 12 - 5. continuity and differentiation
જો \(f(x)\) એ અંતરાલ \((0,\infty )\) માં વિકલનીય વિધેય છે કે જેથી \(f(1) = 1\) અને \(\mathop {\lim }\limits_{t \to x} \frac{{{t^2}f(x) - {x^2}f(t)}}{{t - x}} = 1,\) દરેક \(x > 0,\) તો \(f (\frac {3}{2})\) મેળવો.
- A \(\frac {23}{18}\)
- B \(\frac {13}{6}\)
- C \(\frac {25}{9}\)
- D \(\frac {31}{18}\)
Answer & Solution
Correct Answer
(D) \(\frac {31}{18}\)
Step-by-step Solution
Detailed explanation
\(\lim_{t \to x} \frac{t^2f(x) - x^2f(t)}{t - x} = \lim_{t \to x} \left[ f(x)\frac{t^2 - x^2}{t - x} - x^2\frac{f(t) - f(x)}{t - x} \right]\) \(= f(x)(2x) - x^2f'(x)\) \(2xf(x) - x^2f'(x) = 1\) \(x^2f'(x) - 2xf(x) = -1\) \(\frac{f'(x)}{x^2} - \frac{2f(x)}{x^3} = -\frac{1}{x^4}\)…
See the Complete Solution
Get step-by-step explanations for this and 2.5 Lakh+ more JEE, NEET & CET questions.
- Unlock all solutions
- Practice the full chapter
- Track accuracy across PYQs
4.8 rated on Google Play · 14,000+ reviews
More questions from Maths
- રેખાઓ \(\frac{x-5}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{-3}\) અને \(\frac{x+3}{1}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-1}{-5}\) વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર મેળવો.JEE Mains 2023 Easy
- જો \(\cot \alpha=1\) અને \(\sec \beta=-\frac{5}{3}\), જ્યાં \(\pi<\alpha<\frac{3 \pi}{2}\) અને \(\frac{\pi}{2}<\beta<\pi\) છે તો \(\tan (\alpha+\beta)\) ની કીમત અને \(\alpha+\beta\) નુ ચરણ અનુક્રમે ................. છેJEE Mains 2022 Medium
- કોઈ \(\alpha, \beta \in R\) માટે નીચેની સમીકરણ સંહતિ ધ્યાને લો. \(\alpha x+2 y+z=1\) ; \(2 \alpha x+3 y+z=1\) ; \(3 x+\alpha y+2 z=\beta\) ; તો નીચેના પૈકી ક્યુ સાચું નથી ?JEE Mains 2023 Hard
- ધારો કે \(A =\{1,2,3, \ldots, 10\}\) અને \(f( k )=\left\{\begin{array}{cl} k +1 & \text { if } k \text { is odd } \\ k & \text { if } k \text { is even }\end{array}\right.\) વડે વ્યાખ્યયિત છે. તો \(gof=f\) થાય તેવા શક્ય વિધેયો \(g : A \rightarrow A\) \(gof=f\) ની સંખ્યા ...... છે.JEE Mains 2021 Medium
- ધારોકે \(f(x)=\min \{1,1+x \sin x\}, 0 \leq x \leq 2 \pi\). જ્યાં \(f\) વિકલનીય ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા \(m\) હોય અને જ્યા \(f\) સતત ન હોય તેવા બિંદુઓની સંખ્યા \(n\) હોય, તો : ક્રમયુક્ત જોડ \((m, n)=\dots\dots\dots\)JEE Mains 2022 Medium
- ધારો કે \(z_1=5+4 i\) ને ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે,કાટખૂણે ધડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પરિભ્રમણ કરાવતાં મળતું બિંદ્દુ \(w_1\) છે અને \(z_2=3+5 i\) ને ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે, કાટખૂણે, ધડિયાળના કાંટાની દિશામાં પરિભ્રમણ કરાવતાં મળતું બિંદ્દુ \(w_2\) છે.\(w_1-w_2\) નો મુખ્ય કોણાંક \(.........\) છે.JEE Mains 2023 Hard
More PYQs from JEE Mains
- અહી વક્ર \(y=y(x)\) એ વિકલ સમીકરણ \(\cos \left(\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(e^{-x}\right)\right) d x=\sqrt{e^{2 x}-1} \,d y\) નો ઉકેલ દર્શાવે છે . જો તે \(y\)-અક્ષને \(y=-1\) આગળઅને \(x\)-અક્ષને બિંદુ \((\alpha, 0)\) છેદે છે તો \(\mathrm{e}^{\alpha}\) ની કિમંત મેળવો.JEE Mains 2021 Hard
- જેના સ્થાનસદિશો \(3 \hat{\imath}-4 \hat{\jmath}+2 \hat{k}, \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}-\hat{k},-2 \hat{\imath}-\hat{\jmath}+3 \hat{k}\) અને \(5 \hat{\imath}-2 \alpha \hat{\jmath}+4 \hat{k}\) હોય તેવા ચાર બિંદુઓ જો સમતલીય હોય, તો \(\alpha............\).JEE Mains 2023 Medium
- ગણ \(\{a, b, c, d\}\) પરનું સંબંધ \(R = \{(a, b), (b, c), (b, d)\}\) સામ્ય સંબંંધ બને તે માટે ઓછામાં ઓછી સંખ્યામાં ઉમેરવામા આવતા ધટકોની સંખ્યા \(............\) છે.JEE Mains 2023 Medium
- \(ASSASSINATION\) શબ્દનો ઉપયોગ કરી ને અર્થ સહિત કે અર્થ રહિત કેટલા શબ્દ બનાવી શકાય કે જેમાં સ્વરો હંમેશા સાથે આવે ?JEE Mains 2023 Hard
- જો \(\mathrm{A}=\left[\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right]\) અને \(\mathrm{B}=\left[\mathrm{b}_{\mathrm{ij}}\right]\) એ બે \(3 \times 3\) કક્ષાના વાસ્તવિક શ્રેણિક છે કે જેથી \(b_{i j}=(3)^{(i+j-2)} a_{j i},\) કે જ્યાં \(\mathrm{i}, \mathrm{j}=1,2,3 \). જો શ્રેણિક \(|\mathrm{B}|=81\) તો \(|A|\) મેળવો.JEE Mains 2020 Hard
- જો \(\mathrm{f} \ (0, \infty) \rightarrow \mathrm{R}\) બે વિધેયો \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\int_{-\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}\left(|\mathrm{t}|-\mathrm{t}^2\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{t}^2} \mathrm{dt}\) અને \(g(x)=\int_{-x}^x t^{1 / 2} e^{-t} d t\) થી વ્યાખ્યાયિત છે. તો \(\left(f\left(\sqrt{\log _e 9}\right)+g\left(\sqrt{\log _e 9}\right)\right) =\) ...........JEE Mains 2024 Hard