यदि \(\mathrm{G}\) गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और \(\mathrm{u}\) ऊर्जा घनत्व है तो निम्नलिखित में से किस मात्रा का आयाम \(\sqrt{\mathrm{uG}}\) के समान है?

दो प्रतिरोधकों का मान \(400\, \Omega\) और \(800\, \Omega\) है तथा इनको श्रेणीबद्ध संबंधन में \(6 \,V\) की बैटरी से जोड़ा गया है। ऐसी स्थिति में \(10\, k \Omega\) प्रतिरोध के एक वोल्टमापी द्वारा \(400 \,\Omega\) प्रतिरोध पर नापे गये विभवान्तर का मान निम्न में से किसके निकटतम होगा  ?(\(V\) में)

निम्नलिखित वस्तुओं को ऊपर की और किसी वक्र समतल पर (बिना फिसले) लुढ़काया जाता है \((i)\) एक त्रिज्या \(R\) का रिंग \((ii)\) एक त्रिज्या \(\frac{R}{2}\) का बेलन \((iii)\) त्रिज्या \(\frac{R}{4}\) का एक ठोस गोला सभी परिस्थितियों में द्रव्यमान केन्द्र की चाल गति वक्र समतल के तल पर समान है। उनकी द्वारा तय की गई ऊँचाई का अनुपात होगा।

एक शाफ्ट पर एक पहिया एक कोणीय गति \(\omega\) से घूर्णित हो रहा है। पहिये का जड़त्व आघूर्ण \(I\) है तथा शाफ्ट का जड़त्व आघूर्ण नगण्य है। \(3 I\) जड़त्व आघूर्ण के दूसरे पहिये को जो कि प्रारम्भ में स्थिर अवस्था में हैं, अचानक उसी शाफ्ट में जोड़ दिया जाता है। इस निकाय की गतिज ऊर्जा में हुई भित्रान्तमक (fractional) क्षय का मान होगा?

\(I\) जड़त्व की एक स्थिर चकती अपनी अक्ष पर घूर्णन करने के लिए स्वतंत्र है। जब इस पर एक बाह्य बलाधूर्ण लगाया जाता है तब इसकी गतिज ऊर्जा \(K \theta^{2}\) के समान है, जहीं \(K\) एक धनात्मक नियतांक है। कोण \(\theta\) पर इसका कोणीय त्वरण होगा।

निम्न दो कथन दिये गए है :- कथन \(-I :\) डेवीसन-जर्मर का प्रयोग इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति को स्थापित करता है। कथन \(-II :\) यदि इलेक्ट्रॉन की तरंग प्रकृति है, तो वे व्यतिकरित हो सकते है तथा विवर्तन को दर्शाते है। नीचे दिए गये विकल्पों में से सही कथन चुनें :

दो 1 kg कणों, (A) और (B), के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
\(\overrightarrow{\mathrm{r}}_{\mathrm{A}}=\left(\alpha_1 \mathrm{t}^2 \hat{i}+\alpha_2 \mathrm{t} \hat{j}+\alpha_3 \mathrm{t} \hat{k}\right) \mathrm{m}\) और \(\overrightarrow{\mathrm{r}}_{\mathrm{B}}=(\beta_1 \mathrm{t} \hat{i}+\beta_2 \mathrm{t}^2 \hat{j}\) \(+~\beta_3 \mathrm{t} \hat{k}) \mathrm{m}\), क्रमशः; \((\alpha_1=1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2, \alpha_2=3 \mathrm{n} \mathrm{m} / \mathrm{s},\) \(\alpha_3=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, \beta_1=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s},\) \(\beta_2=-1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2, \beta_3=4 \mathrm{pm} / \mathrm{s})\), जहाँ t समय है तथा n और p स्थिरांक हैं। \(t=1 \mathrm{~s}\) पर, \(\left|\overrightarrow{V_A}\right|=\left|\vec{V}_B\right|\) और कणों के वेग \(\vec{V}_A\) और \(\vec{V}_B\) एक-दूसरे के लंबवत हैं। \(t=1 \mathrm{~s}\) पर, कण (A) के कोणीय संवेग का परिमाण कण (B) की स्थिति के सापेक्ष \(\sqrt{\mathrm{L}} \mathrm{kgm}^2 \mathrm{~s}^{-1}\) है। L का मान _______ है।

यदि \(f(x)=\frac{2-x \cos x}{2+x \cos x}\) तथा \(g(x)=\log _{e} x,(x>0)\) हैं, तो समाकल \(\int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} g(f(x)) d x\) का मान है -

माना \(y=y(x)\) अवकल समीकरण \(\left(x^2+1\right) y^{\prime}-2 x y=\left(x^4+2 x^2+1\right) \cos x\), \(y(0)=1\) का हल है। तो \(\int_{-3}^3 y(x) d x\) ___ है।

यदि एक फलन \(f\) जो \(f(m+n)=f(m)+f(n)\) को संतुष्ट करता है सभी \(\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{N}\) के लिए और \(\mathrm{f}(1)=1\), तो सबसे बड़ी प्राकृत संख्या \(\lambda\) इस प्रकार है कि \(\sum_{\mathrm{k}=1}^{2022} \mathrm{f}(\lambda+\mathrm{k}) \leq(2022)^2\) = ...........

यदि वक्र \(y = x ^3- x ^2+ x\) के बिन्दु \(( a , b )\) पर स्पर्श रेखा, वक्र \(y =5 x ^2+2 x -25\) की भी बिन्दु \((2,-1)\) पर स्पर्श रेखा है, तो \(|2 a +9 b |\) बराबर \(........\) है।

बिंदु \((-1,-1,2)\) से रेखा \(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{6}\) तथा समतल \(2 x - y + z =6\) के प्रतिच्छेदन बिंदु की दूरी का वर्ग बराबर है

वास्तविक संख्या \(k\), जिसके लिए \((0,1)\) में समीकरण \(2 x^{3}+3 x+k=0\) के दो भिन्न वास्तविक मूल है।