एक अनंत समतल आवेशित परत, जिसका एकसमान पृष्ठीय आवेश घनत्व \(+\sigma_5 \mathrm{C} / \mathrm{m}^2\) है, \(\mathrm{x}-\mathrm{y}\) तल पर रखी है। एक अन्य अनंत लंबाई का रेखीय आवेश, जिसका एकसमान रेखीय आवेश घनत्व \(+\lambda_e \mathrm{C} / \mathrm{m}\) है, \(z=4 \mathrm{~m}\) तल पर और \(y\)-अक्ष के समांतर रखा है। यदि परिमाण मान \(\left|\sigma_s\right|=2\left|\lambda_{\mathrm{e}}\right|\) हैं, तो बिंदु \((0,0,2)\) पर परत आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण और रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण का अनुपात \(\pi \sqrt{\mathrm{n}}: 1\) है। \(n\) का मान _______ है।

स्पष्टीकरण:
आइए एनसीईआरटी कक्षा 12 भौतिकी (वैद्युत आवेश तथा क्षेत्र अध्याय) के सिद्धांतों के आधार पर विद्युत क्षेत्रों के अनुपात की गणना चरण-दर-चरण करें:

चरण 1: अनंत समतल आवेशित चादर के कारण विद्युत क्षेत्र (Es)
एकसमान पृष्ठ आवेश घनत्व σs वाली अनंत समतल चादर के कारण किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण दूरी पर निर्भर नहीं करता है और इसका सूत्र निम्न है:
Es = σs / (2ε0)

चरण 2: अनंत लंबाई के सीधे रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र (El)
एकसमान रैखिक आवेश घनत्व λe वाले अनंत लंबे रेखीय आवेश से लंबवत दूरी r पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:
El = λe / (2πε0 r)

चरण 3: रेखीय आवेश से बिंदु की लंबवत दूरी (r) ज्ञात करना
- आवेशित चादर x-y तल (z = 0) पर स्थित है।
- रेखीय आवेश z = 4 m तल पर y-अक्ष के समांतर (अर्थात x = 0, z = 4 m से होकर) गुजरता है।
- दिया गया बिंदु (0,0,2) है, जो z = 2 m पर स्थित है।
रेखीय आवेश से इस बिंदु की लंबवत दूरी r होगी:
r = |4 - 2| = 2 m

चरण 4: विद्युत क्षेत्रों के परिमाण का अनुपात ज्ञात करना
Es और El का अनुपात लेने पर:
Es / El = [σs / (2ε0)] / [λe / (2πε0 r)] = (σs * π * r) / λe

हमें दिया गया है कि |σs| = 2|λe| और r = 2 m है। इन मानों को अनुपात के समीकरण में रखने पर:
Es / El = (2λe * π * 2) / λe = 4π / 1

चरण 5: n का मान ज्ञात करना
प्रश्नानुसार यह अनुपात π√n : 1 के बराबर दिया गया है:
π√n = 4π
√n = 4
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
n = 16

अतः विकल्प A सही उत्तर है।