\(+\sigma_{\mathrm{s}} \mathrm{C} / \mathrm{m}^2\) જેટલી નિયમિત પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ધનતા ધરાવતી એક અનંત સમતલ તક્તિને \(x-y\) સમતલમાં મૂકવામાં આવે છે. બીજા એક \(+\lambda_{\mathrm{e}} \mathrm{C} / \mathrm{m}\) જેટલી નિયમિત રેખીય વિધુતભાર ધનતા ધરાવતા અનંત લંબાઈના લાંબા તાર ને \(z=4 \mathrm{~m}\) સમતલ અને \(y\)-અક્ષને સમાંતર રાખવામાં આવે છે. જો મૂલ્યોમાં \(\left|\sigma_s\right|=2\left|\lambda_{\mathrm{e}}\right|\) હોય તો \((0,0,2)\) સ્થાન આગળ તક્તિ (પૃષ્ઠ) વિદ્યુતભાર અને રેખીય વિધુત ભાર ને કારણે મળતા વિધુતક્ષેત્રનાં મૂલ્યોનો ગુણોતર _______ છે.

સ્પષ્ટીકરણ:
NCERT ધોરણ 12 ભૌતિકવિજ્ઞાન (વિદ્યુતભારો અને ક્ષેત્રો પ્રકરણ) ના નિયમો અનુસાર વિદ્યુતક્ષેત્રોના ગુણોત્તરની સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ગણતરી નીચે મુજબ છે:

સ્ટેપ 1: અનંત સમતલ વિદ્યુતભારિત શીટને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (\(E_s\))
એક સમાન પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા \(\sigma_s\) ધરાવતી અનંત સમતલ શીટને કારણે કોઈપણ બિંદુએ ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અંતર પર આધારિત હોતું નથી અને તેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
\(E_s = \frac{\sigma_s}{2\varepsilon_0}\)

સ્ટેપ 2: અનંત લંબાઈના સીધા રેખીય વિદ્યુતભારને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર (\(E_l\))
એક સમાન રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા \(\lambda_e\) ધરાવતા અનંત લાંબા રેખીય વિદ્યુતભારથી લંબ અંતર \(r\) પર ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર વડે દર્શાવાય છે:
\(E_l = \frac{\lambda_e}{2\pi\varepsilon_0 r}\)

સ્ટેપ 3: રેખીય વિદ્યુતભારથી આપેલા બિંદુનું લંબ અંતર (\(r\)) નક્કી કરવું
- અનંત સમતલ શીટ \(x-y\) સમતલ (\(z = 0\)) પર આવેલી છે.
- રેખીય વિદ્યુતભાર \(z = 4\text{ m}\) સમતલ પર \(y\)-અક્ષને સમાંતર છે (એટલે કે તે \(x = 0, z = 4\text{ m}\) માંથી પસાર થાય છે).
- આપેલું બિંદુ \((0,0,2)\) છે, જે \(z = 2\text{ m}\) પર આવેલું છે.
આથી રેખીય વિદ્યુતભારથી આ બિંદુનું લંબ અંતર \(r\) નીચે મુજબ થશે:
\(r = |4 - 2| = 2\text{ m}\)

સ્ટેપ 4: વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર શોધવો
\(E_s\) અને \(E_l\) નો ગુણોત્તર લેતા:
\(\frac{E_s}{E_l} = \frac{\left(\frac{\sigma_s}{2\varepsilon_0}\right)}{\left(\frac{\lambda_e}{2\pi\varepsilon_0 r}\right)} = \frac{\sigma_s \cdot \pi r}{\lambda_e}\)

અહીં આપણને \(|\sigma_s| = 2|\lambda_e|\) અને \(r = 2\text{ m}\) આપેલ છે, આ કિંમતો સમીકરણમાં મુકતા:
\(\frac{E_s}{E_l} = \frac{(2\lambda_e) \cdot \pi \cdot 2}{\lambda_e} = 4\pi = \frac{4\pi}{1}\)

સ્ટેપ 5: \(n\) ની કિંમત મેળવવી
રકમમાં આપણને આ ગુણોત્તર \(\pi\sqrt{n} : 1\) આપ્યો હોવાથી તેને સરખાવતા:
\(\pi\sqrt{n} = 4\pi\)
\(\sqrt{n} = 4\)
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
\(n = 16\)

આથી, સાચો ઉત્તર વિકલ્પ A છે.