दो प्रक्षेण्य \(A\) तथा \(B\) को \(400\) मी. ऊँचाई टॉवर के शिखर से ऊर्ध्वाधर दिशा से क्रमशः \(45^{\circ}\) तथा \(60^{\circ}\) कोण पर प्रक्षेपित किये गये है। यदि उनके परास तथा उड्डयन काल समान हों तब उनकी प्रक्षेपण चालों का अनुपात \(\mathrm{v}_{\mathrm{A}}: \mathrm{v}_{\mathrm{B}}\) _______ है। [दिया है, \(g=10\) भी. / से. \(^2]\)

त्रिज्या \(a\) की एक वृत्ताकार डिस्क केन्द्र \('O^{\prime}\) से \(d=\frac{a}{2}\) दूरी पर \(l=\frac{ a }{2}\) भुजा का एक वर्गाकार छिद्र काटा जाता है। यदि बचे हुए हिस्से का संहति-केन्द्र \(O\) से \(-\frac{ a }{ X }\) दूरी पर हो तो \(x\) किस पूर्णाक के निकटतम है \(.....\)।

द्रव्यमान \(M\) की एक भारी गेंद को एक बार की छत से ट्रव्यमान \(m\) की हल्की डोरी \(( m < < M )\) से लटकाया गया है। जब कार स्थिरावस्था में है तो डोरी में अनुप्रस्थ तरंगों की गति \(60\, ms ^{-1}\) है। जब कार का त्वरण \(a\) है, तरंग गति \(60.5\, ms ^{-1}\) हों जाती है। \(a\) का, सन्निकट मान होगा।

एक पिन-होल कैमरा की लम्बाई \('L'\) है तथा छिद्र की त्रिज्या \(a\) है। उस पर \(\lambda\) तरंगदैर्ध्य का समांतर प्रकाश आपतित है। छिद्र के सामने वाली सतह पर बने स्पॉट का विस्तार छिद्र के ज्यामितीय आकार तथा विवर्तन के कारण हुए विस्तार का कुल योग है। इस स्पॉट का न्यूनतम आकार \(b_{min}\) तब होगा जब:

यदि \(30^{\circ}\) मिनिट अर्द्आयु का एक रेडियोएक्टिव तत्व बीटा क्षय के अन्तर्गत हो तो \(90 \mathrm{~min}\) के बाद बचे अक्षय रेडियो एक्टिव तत्व का अंश होगा:

1000 g द्रव्यमान का एक पिंड समय पर निर्भर बल \(\vec{F}=\left(2 t \hat{i}+3 t^2 \hat{j}\right) N\) का अनुभव करता है। समय \(t\) पर बल द्वारा उत्पन्न शक्ति कितनी है?

नीचे दिये गये परिपथ के निर्गत \(Y\) के लिये बूलियन सम्बन्ध होगा ?

निम्न में से किस समीकरण का एक मूल \(\alpha=\sin\) \(36^{\circ}\) है ?

किसी एक समान धात्विक तार में \(2 \mathrm{~A}\) की धारा प्रवाहित होती है, जब इसके सिरों पर \(3.4 \mathrm{~V}\) वाली बैट्री को लगाया जाता है। एकसमान धात्विक तार का द्रव्यमान \(8.92 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}\), घनत्व \(8.92 \times 10^3\) \(\mathrm{kg} / \mathrm{m}^3\) एवं प्रतिरोधकता \(1.7 \times 10^{-8} \Omega-\mathrm{m}\) है। तार की लम्बाई है:

तीन घटनाओं \(A\), \(B\) तथा \(C\) के लिए \(P(A\) अथवा \(B\) में से केवल एक घटित हांती है \()\) \(=P(B\) अथवा \(C\) में से केवल एक घटित होती है \()\) \(=P(C\) अथवा \(A\) में से केबल एक घटित होती है \(=\frac{1}{4}\) तथा \(P\) (सभी तीन घटनाएँ एक साथ घटित होती है) \(=\frac{1}{16}\) है, तो प्रायिकता कि कम से कम एक घटना घटित हो, है:

माना \(f ( x )=\left\{\begin{array}{l}-1,-2 \leq x <0 \\ x ^{2}-1,0 \leq x \leq 2\end{array}\right.\) तथा \(g ( x )=| f ( x )|+ f (| x |)\), तो अंतराल \((-2,2)\) में \(g\)

मान लीजिए कि M, कोटि \(3 \times 3\) के सभी वास्तविक आव्यूहों का समुच्चय है और मान लीजिए कि \(\mathrm{S}=\{-3,-2,-1,1,2\}\) है। मान लीजिए कि
\(\mathrm{S}_1=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_2=\left\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: \mathrm{A}=-\mathrm{A}^{\mathrm{T}} \text { और } a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\right\}, \)
\( \mathrm{S}_3=\{\mathrm{A}=\left[a_{\mathrm{ij}}\right] \in \mathrm{M}: a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\) और \(a_{\mathrm{ij}} \in \mathrm{~S}, \forall \mathrm{i}, \mathrm{j}\}\)
यदि \(n\left(\mathrm{~S}_1 \cup_2 \mathrm{US}_3\right)=125 \alpha\), तो \(\alpha\) = ___

माना \((a, b) \subset(0,2 \pi)\) सबसे बड़ां अंतराल हैं, जिसके लिए \(\sin ^{-1}(\sin \theta)-\cos ^{-1}(\sin \theta)>0, \theta \in(0,2 \pi) \) है।  यदि \(\alpha x^2+\beta x+\sin ^{-1}\left(x^2-6 x+10\right)+\cos ^{-1}\) \(\left(x^2-6 x+10\right)=0\) तथा \(\alpha-\beta=b-a\), है, तो \(\alpha\) बराबर है :