द्रव्यमान \(m\) और \(M,(M \gt m)\) के दो गुटके एक घर्षण रहित मेज पर रखे गए हैं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। एक द्रव्यमान रहित स्प्रिंग स्प्रिंग नियतांक k के साथ निचले गुटके से जुड़ी हुई है। यदि निकाय को थोड़ा विस्थापित करके छोड़ दिया जाए, तो
(\(\mu=\) दोनों गुटकों के बीच घर्षण गुणांक)

(A) दोनों गुटकों के छोटे दोलनों का आवर्तकाल \(\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{(\mathrm{~m}+\mathrm{M})}{\mathrm{k}}}\) है
(B) गुटकों का त्वरण \(\mathrm{a}=\frac{\mathrm{kx}}{\mathrm{M}+\mathrm{m}}\) है (\(\mathrm{x}=\) माध्य स्थिति से गुटकों का विस्थापन)
(C) ऊपरी गुटके पर घर्षण बल का परिमाण \(\frac{m \mu|x|}{M+m}\) है
(D) यदि ऊपरी गुटका फिसलता नहीं है, तो उसका अधिकतम आयाम \(\frac{\mu(M+m) g}{k}\) है
(E) अधिकतम घर्षण बल \(\mu(\mathrm{M}+\mathrm{m}) \mathrm{g}\) हो सकता है।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

(A) चूंकि दोनों गुटके एक साथ चल रहे हैं, तो आवर्तकाल \(=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~K}}} ;\) जहां \(\mathrm{m}=\mathrm{M}+\mathrm{m}\)
\(\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{M}+\mathrm{m}}{\mathrm{~K}}}\)
(B) मान लीजिए गुटके को x दूरी से \((+\mathrm{ve})\) दिशा में विस्थापित किया गया है, तो गुटके पर बल \((-\mathrm{ve})\) दिशा में होगा
\(\begin{aligned}
& \mathrm{F}=-\mathrm{Kx} \\
& (\mathrm{M}+\mathrm{m}) \mathrm{a}=-\mathrm{Kx} \\
& \mathrm{a}=-\frac{\mathrm{Kx}}{(\mathrm{M}+\mathrm{m})}
\end{aligned}\)
(C) चूंकि ऊपरी गुटका घर्षण के कारण गति कर रहा है, अतः
\(\mathrm{f}=\mathrm{ma}=\frac{\mathrm{mKx}}{(\mathrm{M}+\mathrm{m})}\)
(D) यह विकल्प घर्षण में दो गुटकों की समस्या जैसा है अधिकतम आयाम के लिए, गुटके पर बल भी अधिकतम होता है, जिसके लिए दोनों गुटके एक साथ गति करते हैं।

\(\begin{aligned}
& K A=(M+m) a \\
& a=\frac{K A}{(M+m)} \\
& f=m a=\frac{m K A}{(M+m)} \\
& f_{\max }=f_L=\mu \mathrm{mg} \\
& f=\mu m g \\
& \frac{m K A}{(M+m)}=\mu m g \\
& A=\frac{\mu(M+m) g}{K}
\end{aligned}\)
(E) अधिकतम घर्षण \(\mu \mathrm{mg}\) हो सकता है क्योंकि बल गुटकों के बीच लग रहा है और यहां अभिलंब बल mg है।