चित्र \((A)\) में \(k\) स्प्रिंग स्थिरांक वाली दो स्प्रिंगों से जुड़े ' \(m\) ' द्रव्यमान के साथ ' \(2\,m\) ' द्रव्यमान जुड़ा हुआ है। चित्र \((B)\) में, क्रमशः ' \(k\) ' एवं ' \(2\,k\) ' स्प्रिंग स्थिरांक वाली दो स्प्रिंगों से दव्यमान ' \(m\) ' जुड़ा हुआ है। यदि द्रव्यमान ' \(m\) ' को \((A)\) एवं \((B)\) में ' \(x\) ' क्षैतिज दूरी से विस्थापित करके छोड़ दिया जाता है, तो चित्र \((A)\) एवं \((B)\) के क्रमशः आवर्तकाल \(T _1\) एवं \(T_2\) निम्न सम्बंध द्वारा निरूपित होंगे :

A \(\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)
B \(\frac{ T _{1}}{ T _{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
C \(\frac{ T _{1}}{ T _{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
D \(\frac{ T _{1}}{ T _{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Verified Solution

Answer & Solution

Correct Answer

(A) \(\frac{T_{1}}{T_{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Step-by-step Solution

Detailed explanation

\(T _{1}=2 \pi \sqrt{\frac{3 m }{2 k }}\) \(T _{2}=2 \pi \sqrt{\frac{ m }{3 k }}\) \(\frac{ T _{1}}{ T _{2}}=\frac{2 \pi \sqrt{\frac{3 m }{2 k }}}{2 \pi \sqrt{\frac{ m }{3 k }}}=\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Apply the relevant identity from the chapter and substitute the values established in the previous step, keeping the original constraint in view.

Use the simplified expression to isolate the unknown, then plug the result back into the question setup to confirm the working is internally consistent.

Cross-check against a boundary or limiting case. Both the dimensional balance and the qualitative behaviour at the extreme should agree with the candidate answer.

Combine the steps above to identify the correct option. The remaining choices each fail at least one of the consistency, dimensional, or boundary checks.

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