आवेश \(Q\) वाले एक ठोस चालकीय गोले को एक अनावेशित चालकीय खोखले गोलीय कवच से घेरा गया है। ठोस गोले के पृष्ठ और खोखले कवच के बाह्म पृष्ठ के बीच विभवान्तर \(V\) है। यदि कवच को अब एक आवेश \(-4 Q\) दिया जाता है, तब उन्ही दोनों पृष्ठों के बीच नया विभवान्तर ........\(V\) होगा।

\(2.0 \mathrm{~cm}\) तरंगदैर्ध्य का एक माइक्रोवेव \(4.0 \mathrm{~cm}\) चौड़ाई वाली एक झिरी पर अभिलंबवत आपतित होता है। झिरी से \(1.5 \mathrm{~m}\) दूर एक परदे पर प्राप्त विवर्तन प्रतिरूप के केंद्रीय उच्चिष्ठ का कोणीय विस्तार _______ होगा।

एक प्रकाश किरण अपवर्तनांक \(\sqrt{3}\) वाली काँच की पट्टिका पर \(60^{\circ}\) आपतन कोण आपतित होती है। अपवर्तन के बाद किरण दूसरी समानान्तर सतह से निर्गत होती है और आपतित किरण व निर्गत किरण के मध्य पार्श्व विस्थापन \(4 \sqrt{3} cm\) है। कांच की पट्टिका की मोटाई ( \(cm\) में) ज्ञात कीजिए।

\(30^{\circ}\) झुकाव व \(60 \mathrm{~cm}\) लम्बाई के एक नत समतल के शिखर से विरामावस्था से एक ठोस बेलन को छोड़ा जाता है। यदि बेलन बिना फिसले लुढकता हो, आनत तल की तली तक पहुँचने में इसकी चाल__________ \(\mathrm{ms}^{-1}\) होती है। \(\left(\mathrm{g}=10 \mathrm{~ms}^{-2}\right)\)

दो मोटरों की शक्तियों का अनुपात \(\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) है, जो कि \(5\) मिनट एवं \(2\) मिनट में क्रमशः \(300 \mathrm{~kg}\) एवं \(50 \mathrm{~kg}\) पानी को \(100\) मीटर गहरे कुऐं से उठाने में सक्षम हैं। \(\mathrm{x}\) का मान होगा।

किसी \(LC\) दोलित्र में, यदि प्रेरकत्व को दोगुना तथा धारिता को आठ गुना कर दिया जाए तो दोलित्र की अनुनादी आवृत्ति इसकी आरंभिक अनुनादी आवृत्ति \(\omega_0\) की \(\mathrm{x}\) गुना हो जाती है। \(\mathrm{x}\) का मान है:

किसी तार से प्रवाहित धारा समय पर निम्न रूप से निर्भर करती हैं \(i =\alpha_{0} t +\beta t ^{2}\) यहाँ \(\alpha_{0}=20\;A / s\) तथा \(\beta=8 \;As ^{-2}\) है इस तार के किसी भाग से \(15\; s\) में प्रवाहित होने वाला आवेश होगा।

एक अतिपरवलय \(4 x^{2}-y^{2}=36\) के बिंदुओ \(P\) तथा \(Q\) पर स्यर्श रेखाएँ खींची जाती है। यदि यह स्पर्शरखाएँ बिंदु \(T(0,3)\) पर काटती हैं, तो \(\Delta P T Q\) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

\(\mathrm{E}=(25 \sin 1000 \mathrm{t})\) वोल्ट के प्रत्यावर्ती स्त्रोत से जुड़े एक श्रेणी \(LR\) परिपथ का पावर गुणांक \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) है। यदि स्त्रोत का emf बदलकर \(\mathrm{E}=(20 \sin 2000 \mathrm{t})\) वोल्ट कर दिया जाता है, तो परिपथ का नया पावर गुणांक _______ होगा।

यदि वृत्त \((x+1)^2+(y+2)^2=r^2\) तथा \(x^2+y^2-4 x-4 y+4=0\) एक दूसरे को ठीक दो विभिन्न बिंदुओं पर काटते हैं, तो ...........

माना प्रत्येक \(n \in N\) के लिए,\(a _{ n }=\int \limits_{-1}^{ n }\left(1+\frac{ x }{2}+\frac{ x ^2}{2}+\frac{ x ^3}{3}+\ldots \ldots . .+\frac{ x ^{ n -1}}{ n }\right) dx\) है तो समुच्चय \(\left\{ n \in N : a _{ n } \in(2,30)\right\}\) के सभी अवयवों का योगफल है \(..........\)

एक बेलन में अनुप्रस्थ काट \(8.0 \times 10^{-3} \;m ^{2}\) के एक कमानीदार भारित पिस्टन द्वारा एक आदर्श एकपरमाणुक गैस को रखा गया है। प्रारम्भ में गैस \(300 \;K\) पर है और \(2.4 \times 10^{-3} m ^{3}\) आयतन रखती हैं और कमानी अपनी विश्रांति अवस्था में है जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। गैस को एक छोटे हीटर द्वारा तब तक गरम किया जाता है जब तक कि पिस्टन धीरे से \(0.1 \;m\) की गति न कर ले। कमानी का बल नियताँक \(8000\; N / m\) है और वायुमंडलीय दाब \(1.0 \times 10^{5} \;N / m ^{2}\) है। बेलन एवं पिस्टन ऊष्मारोधी हैं। पिस्टन एवं कमानी द्रव्यमानविहीन है और पिस्टन एवं बेलन के बीच कोई घर्षण नहीं है। गैस का अन्तिम तापमान होगा : (हीटर के लीड तारों से ऊर्जा की हानि नगण्य माने और हीटर कुण्डली की ऊष्माधारिता भी नगण्य है)

माना \(S=\left\{\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right): \sum \limits_{m=1}^9 \sec \left(\theta+( m -1) \frac{\pi}{6}\right) \sec \left(\theta+\frac{ m \pi}{6}\right)=-\frac{8}{\sqrt{3}}\right\}\) है। तब