एक गुहा, जिसमें निर्वात हैं, के अन्दर द्रव्यमान \(M\) एवं त्रिज्या \(R\) के एक काले रंग के ठोस गोले को रखा गया हैं। गुहा की दीवारों का तापमान \(T _{0}\) पर अनुरक्षित किया गया हैं। गोले का प्रारम्भिक तापमान \(3 T _{0}\) हैं। यदि गोले के पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा प्रति इकाई द्रव्यमान गोले के तापमान \(T\) से \(\alpha T ^{3}\) के अनुसार परिवर्तित होती हैं, जहाँ \(\alpha\) एक स्थिराँक हैं, तब गोले के तापमान को \(2 T _{0}\) तक ठंडा होने में समय लगेगा ( \(\sigma\) स्टीफन बोल्टजमान स्थिराँक हैं)

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उत्तर और हल

सही उत्तर

(C) \(\frac{{M\alpha }}{{16\pi {R^2}\sigma }}\,\ln \left( {\frac{16}{3}} \right)\)

चरण-दर-चरण हल

विस्तृत व्याख्या

In the given problem, fall in temperature of sphere,

\(dT = \left( {3{T_0} - 2{T_0}} \right) = {T_0}\)

Tmperature of surrounding, \({T_{surr}} = {T_0}\)

Initial temperature of sphere, \({T_{initial}} = 3{T_0}\)

Specific heat of the material of the sphere varies as,

\(c = \alpha {T^3}\,per\,unit\,mass\,\left( {\alpha = a\,constant} \right)\)

Applying formula,

\(\frac{{dT}}{{dt}} = \frac{{\sigma A}}{{McJ}}\left( {{T^4} - T_{surr}^4} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{{T_0}}}{{dt}} = \frac{{\sigma 4\pi {R^2}}}{{M\alpha {{\left( {3{T_0}} \right)}^3}\,J}}\left[ {{{\left( {3{T_0}} \right)}^4} - {{\left( {{T_0}} \right)}^4}} \right]\)

\( \Rightarrow dt = \frac{{M\alpha 27T_0^4J}}{{\alpha 4\pi {R^2} \times 80T_0^4}}\)

Solving we get,

Time taken for the sphere to cool down temperature \(2{T_{{0^,}}}\)

\(t = \frac{{M\alpha }}{{16\pi {R^2}\sigma }}In\left( {\frac{{16}}{3}} \right)\)

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